认识分式方程特级教师教学实录

4 分式方程

第1课时

分式方程的概念及列分式方程

教学目标

一、基本目标

1．理解分式方程的概念．

2．能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．

3．经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的概念．

【教学难点】

根据题意列分式方程．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P125的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？

①x－2xxx－13－xxx－14313＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦23xyxπ25x－2x2x＋11x－＝2；⑧＋3x＝1. xx解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程．

3．甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工一件，乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同．如何用方程来描述其中数量间的相等关系？

2024解：设甲每天加工服装x件，可得方程＝. xx＋1环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】下列关于x的方程中，是分式方程的是(

) 4＋x2＋3x2x－1xA．＝

B．＝＋3 5672

7x－1x12C．＋1＝

D．＝1－

π2x2＋x【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个方程是否是分式方程？

【分析】A、

B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．

【答案】D 【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数．注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．

【例2】某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为(

) 20x＋1020x－10A．＝15

B．＝15 x＋4x＋420x＋1020x－10C．＝15

D．＝15 x－4x－4【互动探索】(引发学生思考)题中存在着怎样的数量关系？

【分析】原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数＋10个)÷实际每天生产的零件个数＝15天，根据等量关系列出方20x＋10程为＝15. x＋4【答案】A 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列方程是分式方程的是(

A

) A．25＝

x＋1x－33y－1y＋5B．＝－2 268x＋1D．2x－5＝

71C．2x2＋x－3＝0

22．运动会上，八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为(

B

) A．40304030－＝20

B．－＝20 1.5xxx1.5x30403040C．－＝20

D．－＝20 x1.5x1.5xx3．一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与

7原两位数的比值是.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？

4解：设对调前这个两位数的十位数字是x，可得方程4×10＋x7＝. 10x＋444．某校学生到离学校15 km处植树，部分学生骑自行车出发40 min后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达．如何用方程来描述其中数量之间的相等关系？

151540解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为3x km/h，可得方程＝＋. x3x60环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．分式方程的概念

2．列分式方程

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

分式方程的解法

教学目标

一、基本目标

1．掌握解分式方程的基本方法和步骤．

2．经历和体会解分式方程的基本步骤，使学生进一步了解“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的方法．

二、重难点目标

【教学重点】

解分式方程的基本方法和步骤．

【教学难点】

检验分式方程的解．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P126～P127的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．使分式方程分母为零的根，称为分式方程的增根．产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为零的整式．

2．解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结．

233．解方程：＝. x－3x解：x＝9. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】解方程：

1－x571(1)＝；

(2)＝－3. xx－2x－22－x【互动探索】(引发学生思考)将分式方程化为一元一次方程进行求解．

【解答】(1)方程两边同乘x(x－2)，

得5(x－2)＝7x，解得x＝－5. 检验：把x＝－5代入最简公分母，

得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解．

(2)方程两边同乘(x－2)，

得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2. 检验：把x＝2代入最简公分母，

得x－2＝0，∴原方程无解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入最简公分母检验．

活动2

巩固练习(学生独学) 3a41．若方程＝＋有增根，则增根为(

A

) x－2xxx－2A．0

C．0或2

B．2

D．1 2m2．如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(

B

) x－3x－3A．－3

C．－1

B．－2

D．3 2x＋a3．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是

a＜－1且a≠－2. x－14．解方程：

12x2x(1)＝；

(2)＝＋1；

2xx＋3x＋13x＋3

2451(3)＝2；

(4)2－2＝0. x－1x－1x＋xx－x3解：(1)x＝1.

(2)x＝－. 23(3)原方程无解．

(4)x＝. 2活动3

拓展延伸(学生对学) 2mx3【例2】若关于x的分式方程＋2＝无解，求m的值．

x－2x－4x＋2【互动探索】先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．

【解答】方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1. ②方程有增根，则x＝2或x＝－2. 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，m＝－4. 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6. ∴m的值是1，－4或6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．分式方程的解法

方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验．

2．分式方程的增根

(1)解分式方程会产生增根的原因；

(2)分式方程检验的方法．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时

分式方程的应用

教学目标

一、基本目标

1．通过创设日常生活中的情境，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性．

2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的

过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的应用．

【教学难点】

在实际问题中建立分式方程的模型．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P129的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1列分式方程解应用题的步骤：

(1)审题；

(2)设未知数；

(3)找出相等关系，列出分式方程；

(4)解这个分式方程；

(5)检验，看方程的解是否满足方程并符合题意；

(6)写出答案．

2．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为

12

. 3．某市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？

11甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖28111这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半．所以列方x8x11188程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天．

8x233环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有10801080＝－xx－15

新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？

【互动探索】(引发学生思考)设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工作效率×2＋乙工作效率×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．

【解答】设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．

2x由题意，得＋＝1.解得x＝6. xx＋3经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 故甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．

【例2】从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．

(1)求普通列车的行驶路程；

(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．

【互动探索】(引发学生思考)(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．

【解答】(1)根据题意，得400×1.3＝520(千米)．

故普通列车的行驶路程是520千米．

(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时．

520400根据题意，得－＝3，解得x＝120. x2.5x经检验，x＝120是原方程的解．

则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．

解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时．

844520根据题意，得－＝. 1.2xx60

解得x＝75，

经检验，x＝75是原方程的解．

故小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时．

2．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了技术，每天生产的台数比原计划多50%，结果提前两天完成任务．求改进技术后每天生产通讯设备多少台．

解：设改进技术前每天生产x台．

6060根据题意，得＝＋2. x1.5x解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的解，则1.5x＝15. 所以改进技术后每天生产通讯设备15台．

3．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20%，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度．

解：设这列火车原来的速度为x千米/时．

4501450－3x根据题意，得＝3＋＋. x21＋20%x解得x＝75. 经检验，x＝75是原方程的解．

所以这列火车原来的速度为75千米/时．

4．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分钟才能完工．

(1)乙单独整理需要多少分钟完工？

(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

解：(1)设乙单独整理需要x分钟完工．

2020＋20根据题意，得＋＝1. 40x解得x＝80. 经检验，x＝80是原分式方程的解．

故乙单独整理需要80分钟完工．

(2)设甲至少整理y分钟才能完工．

30y根据题意，得＋≥1. 8040解得y≥25. 故甲至少整理25分钟才能完工．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．

(1)第一次水果的进价是每千克多少元？

(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？

【互动探索】(1)根据第二次购买水果数多20千克，可列出方程，解方程即可得出答案；(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．

【解答】(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元．

14521200根据题意，得－＝20. 1.1xx解得x＝6. 经检验，x＝6是原方程的解．

故第一次水果的进价为每千克6元．

(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．

第二次购买水果200＋20＝220(千克)．

第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，

第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．

所以两次共盈利400－12＝388(元)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

审清题意，弄清已知量和未知量

找——

找出等量关系

设——

设未知数

列——

列出分式方程

列分式方程解应用题的步骤——审——

练习设计

请完成本课时对应练习！

解——

解这个方程

检验，既要检验所求得的解是不是验——

所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求

答——

写出答案