3.1.2 导数的概念教学实录及点评

导数的概念

一、教材分析

导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容,

是在学生学***均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 高台跳水的平均速度--→瞬时速度

问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度

ff 函数的平均变化率

--→

函数的瞬时变化率lim（即导数）

x0xx

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平

，制定如下教学目标和重、难点

二、教学目标

1、知识与技能目标：

①通过实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景

②理解导数的概念，会用定义求导数。

2、过程与方法目标：

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：

通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

二、

重点、难点

重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

三、

学法与教法

学法：

（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如问题2的处理）

（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如问题3的处理）

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理）

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。②导——教师指导、循序渐进

（1）

新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲

（2）

理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义

（3）

例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识

（4）

变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知

四、教学用具：电脑、多媒体、计算器

五、教学过程设计

教学教学内容

师生互动

环节

创设情景

、

引入新课

幻灯片

1、平均变化率

2、思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）设计思路

从学生原有的物理引起学生的好奇，意识知识出发去计算平到可以通过平均速度去均速度,并提出如何求瞬时速度。

通过平均速度求瞬

时速度.让学生相互使学生带着问题走进课讨论，交流结果的基堂，激发学生求知欲

础上，提出

：当时

=－4.9t 2＋6.5t＋10. 间间隔很小的时候,

问题一、计算运动员在1t2这段平均速度就会逼近

时间里的平均速度，

瞬时速度

问题二、请大家思考如何通过平均速

度来求运动员的瞬时速度呢?如t=2

时刻的瞬时速度？

根据学生的认知水平,概念的形成分提出问题三，组织学理解导数的内涵是本节

了两个层次：

生讨论，从左边逼近课的教学重难点，通过

结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

2s时，平均速度有怎层层设疑，把学生推向

问题三、计算当Δt取不同值时,计样的变化

问题的中心，让学生动

（此处用几何画板手操作，直观感受来突算平均速度v的值

设计一个计算器，并出重点、突破难点

初

用它完成计算工作）

h(2t)h(2)步

尝试计算v的值？

探

t索

完成下表：

、

Δt

Δt

vv展

示

内

-0.1

0.1

涵

-0.01

0.01

-0.001

0.001

-0.0001

0.0001

-0.00001

0.00001

………. ….

……. …

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，

再让学生计算从右边逼近2s时，平均速度有怎样的变化。

一方面分组讨论，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即h(2t)h(2)lim13.1t0t

/*****

帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力

问题四：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

Δt

Δt

v

v

-0.1 -12.61 -0.01 -13.051 -0.001 -13.0951 -0.0001 -13009951 -0.00001 -13.099951 ………. ….

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美

0.1

0.01

0.001 -13.59 -13.149 -13.1049

0.0001 -13.10049

0.00001

……. -13.100049 …

引导学生继续思考:与旧教材相比,这里不提运动员在某个时刻及极限概念,而是通过形问题五：运动员在某个时刻t0的瞬时象生动的逼近思想来定t0的瞬时速度如何速度如何表示呢？

义t0时刻的瞬时速度,更

表示? 学生意识到符合学生的认知规律,将t0代替2,可类比提高了他们的思维能力,h(tt)h(t0)体现了特殊到一般的思得到lim0

t0维方法

t

在前面问题的铺垫引导学生舍弃具体问题问题六：如果将这两个变化率问题中下,进一步提出，函数的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在xx0处的到难、由特殊到一般，瞬时变化率帮助学生完成了思维的f(x)在xx0处的瞬时变化率如何f(xx)f(x0)f飞跃；同时提及导数产lim0limx0x0x生的时代背景，让学生呢？

x

感受数学文化的熏陶，即yf(x)在xx0引导学生用导数的概念来表示问题感受数学来源于生活，四中的运动员在2s时刻的导数为

处的导数,记作

又服务于生活。

f(xx)f(x0)f(x0)lim0f(x0x)f(x)x0f(2)lim

xx0x(也可记为yxx)

0加深学生对导数概念的理解

例1：例1：将原油精炼为汽油、柴

油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，进一步加深对导数概念的理解及应用

原油温度（单位：c）为

发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。

f(x)x27x15(0x8)

循序渐进、延伸

拓展

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

步骤： ①启发学生根据导数定义，再分别求出f(2)和f(6)

②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？

③大家是否能用同样方法来解决问题二？

④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢

从学生的原有知识出发，让学生独立完上台板演，（m）与时间t（s）满足关系S（t）成练习1，第三次体会逼近思2＝-2t+5t（1）求物体第5秒和第6想

变式练习：已知一个物体运动的位移秒的瞬时速度

（2）求物体在t时刻的瞬时速度

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

1、瞬时速度的概念

归2、导数的概念

纳

总3、求导的步骤

结

4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律加深学生练习2和3作为学生对导数内涵的理解，体思考提高题

验数学在实际生活中的应用

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这引导学生进行讨论，是一个重组知识的过相互补充后进行回程，是一个多维整合的答，老师评析，并用过程，是一个高层次的幻灯片给出

自我认识过程，这样可

帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

（必做）第10页习题A组第2、3、4 题

作业是学生信息的反馈，能在作业中发

现和弥补教学中的不足，同时注重个体（选做）：思考第11页习题B组第1题

差异，因材施教

作业安排、板书设计

§1.1.2导数的概念

一、回顾上节课的思考题

二、瞬时速度的概念

三、导数的概念

四、归纳小结

五、作业布置

电脑投影屏幕

列表

例1

变式练习

自 我 反 思

这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。

主要特色

新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近与

方法定义导数。

创新之处

1．避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；

2．将更多精力放在导数本质的理解上；

3．通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解

1.部分学生受计算能力限制，过程体验不够充分；

存在的问题

2.学生对极限思想很感兴趣，但对用其计算导数仍不熟练。

与不足