3.1.3 导数的几何意义优秀课堂实录

导数的几何意义

1.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程．

重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

难点：对导数几何意义的理解．

方 法：合作探究

一新知导学

1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的__________．

设P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则割线PQ的斜率kn＝

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的____________，即k＝f

′(x0)＝___________________.

3．函数的导数

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f

′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f

′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f

′(x)＝y′＝________________. 4．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个__________，不是变量．

(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数__________．

(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0处的__________，即f ′(x0)＝____________. 5．导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的__________．

二．例题分析

例 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)

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课堂随笔:

练习：已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是

(

)

A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)＝f ′(xB) C．f ′(xA)

1例2已知曲线C：f(x)＝x-x. 求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；

例3：已知曲线方程为：4x-y-2=0．

例．：曲线y＝x2上的点到直线x－y-2＝0的距离的最小值为__________. 2y2x7相切的直线方程．

例4试求过点(3.9)且与曲线

y2x1求；曲线上那一点的切线平行于直线2

三．作业

一、选择题

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f

′(x0)的几何意义是(

) A．在点x0处的斜率

B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值

C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率

D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率

2．曲线y＝x在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(

) A．(－2，－8) C．(2,8) 33B．(1,1)，(－1，－1) 11D．(－，－) 283．曲线y＝x－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(

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A．y＝x－1 C．y＝2x－2 B．y＝－x＋1 D．y＝－2x＋2

3124．已知曲线f(x)＝x＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(

) 2A．－2 C．1 B．－1 D．2 1375．曲线y＝x－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为(

) 33A．30°

C．135°

6．设f(x)为可导函数且满足lim

x→0B．45°

D．60°

f－f－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(

) A．2 C．1 二、填空题

7．已知函数f(x)＝x＋2，则f

′(2)＝________. 8．设函数y＝f(x)，f

′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________. 9．若抛物线y＝x与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________. 三、解答题

10．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x－x＋1相切．

(1)求切点的坐标；

(2)求a的值．

322B．－1 D．－2

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