一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计第一课时

圆锥曲线上的定点定值

(第1课时) 学科：数学

班级：高二6班

授课时间：2017-12-15

授课人：黄良发

教学目标：

知识与技能：1、培养运算能力。2、通过引入参数，建立含参等式寻找定点。3、培养由特殊到一般的探索能力。

过程与方法:通过小组合作、自主学习培养学生分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：1、认识世界总是从特殊到一般，再由一般到特殊,数学研究也不例外，由特殊到一般,再由一般到特殊的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般思想。2、在运动中寻找不变量，动静结合，体现哲学中动静既对立又统一思想。

重点：1、掌握圆锥曲线中斜率等和子弦的定点定值。2、掌握圆锥曲线中斜率等积子弦的定点定值。

难点：运算技巧，化简。

引入：圆锥曲线上的定点定值子弦的含义

设点P是圆锥曲线上的一个定点，PA，PB是该曲线过定点P的两条弦，当直线PA，PB的斜率之积为定值时，称线段AB为该曲线上定点P的关于定值的斜率等积子弦；当直线PA，PB的斜率之和为定值时，称线段AB为该曲线上定点P的关于定值的斜率等和子弦；并把这两个子弦统称为定点P关于定值的定值子弦。

x2y2高考题回顾：(2017年，全国I卷，理数20)已知椭圆C：22=1（a>b>0），ab四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，C上. （1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，33

），P4（1，）中恰有三点在椭圆223）不可能同时在椭圆上，

2P3（–1，

33），P4（1，）一定同时在椭圆上，

22第

1 页

因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，33），P4（1，），

22代入椭圆方程可得：b1,131a2，

a24x2故而可得椭圆的标准方程为：y21。

4(2)

根据题题意，直线AB的斜率存在，设AB的方程为ykxm

设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程得

ykxm222 x2 消去y可得:4k1x8kmx4m40

2y148km4m24x1x22,x1x2

24k14k1ykxm2222 x2 消去x可得:4k1y2mym4k0

2y142mm24k2y1y22,y1y2(此题不用，后面改编题可用上) 24k14k1 kP2AkP2By11y211，即x1x2x2y11x1y21

x1x2x1x2x2kx1m1x1kx2m1

2k1x1x2m1x1x20

4m24km2k12m180

4k14k21m1m2k10

m1时，直线AB方程：ykx1过P2，舍去。

m2k1时，直线AB方程：ykx21，过定点(2,-1)。

第

2 页

改编1:设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为2，试探l是否过定点?

改编2:设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为0，试探l是否过定点?

改编3:设直线l不经过P3点且与C相交于A，B两点.若直线P3A与直线P3B的斜率的和为0，试探l是否过定点? 解：设Ax1,y1,Bx2,y2，AB方程:ykxm，则：

kP3AkP3B0y133y2220x11x2133yx1x1y



112222033kx1mx21x11kx2m0223x1x2kx1x22m302kx1x2m2

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3 页

4m2438km8km2k22m302km4k2124k14k143km8k43k22m30

22m23k123k12k303k12m2k30推广:设椭圆上任意一点Px0,y0，直线l不经过P且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，试探l是否过定点? 解：设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，AB方程:ykxm，则：

kPAkPB，即：y1y0y2y0

x1x0x2x0

y1y0x2x0y2y0x1x0x2x0x1x0

2

kx1my0x2x0kx2my0x1x0x1x2x0x1x2x0

kx1my0x2x0kx2my0x1x0x1x2x0x1x2x022kx1x2my0x2kx0x1my0x0kx1x2my0x1kx0x2my0x0x1x2x0x1x2x022kx1x2my0x1x2kx0x1x22my0x0x1x2x0x1x2x02kx1x2my0kx0x0x1x22my0x0x0208km4m24

x1x22,x1x24k14k21

代入得：

4m248km22kmykxx2my0x0x0000024k214k12k4m24my0kx0x08km2my04k21x0x024k21042km42k8km8kykxxm2x4k1m24k1xyx4k104m8kykxx2x4k1m42k24k1xyx4k104m8ky8kx2xm42k24k1xyx4k104m8kx8ky2xm42k24k1xyx4k10222200000020222220000002022000002022200000202

x24y24

00

常数项化简为:

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4 页

x202k24k21x0y0x024k214y2022kx28ky24y224k21x0y04k2x000022222k4kx24k1xy8k4y0000

2kx02y012kx04k2y0

2m2kx02y02m12kx04k2y00

情形1：mkx0y00

(舍去)

情形2：2m12kx04k2y00

12kx04k2y004m28kx08ky02x0m2kx02y0

例2：已知抛物线C:y24x，P(0,0)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为–1，试探l是否过定点? 解：设Ax1,y1,Bx2,y2，AB方程:xmyn，则：

xmyny24my4n0

y1y24m,y1y24n

2y4xkPAkPB1y1y21x1x2x1y2x2y1x1x2x1y2x2y1my1ny2my2ny12my1y2ny1y24mn

x1x2my1nmy2nm2y1y2mny1y2n2n2

n24mn,n0或n4m

推广：已知抛物线C:y22px，Px0,y0在抛物线C上，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，试探l是否过定点? 解：设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，AB方程:xmyn，则：

xmyny22pmy2pn0

y1y22pm,y1y22pn

2y2px2yy02py12px12y12y02px1x012x1x0y1y0

y02px0

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5 页

y2y02p同理：xxy2y0

20kPAkPB2p2p

y1y0y2y022py1y22y0y1y2y0y1y2y02

2p2pm2y02pn2y0pmy024p2m4py02pn2pmy0y00

x2y2小结：给定椭圆221ab0及椭圆上的定点Px0,y0。

对于定值，当ab2y02b20时，定点P的斜率等和子弦所在直线经过定点x,xy00；当20a0时，定点P的斜率等和子弦所在直线斜率为定值，或斜率不存在。

给定抛物线y22pxp0及抛物线上的定点Px0,y0。

对于定值，当2y2p0时，定点P的斜率等和子弦所在直线经过定点x00,当0y0；时，定点P的斜率等和子弦所在直线斜率为定值，或斜率不存在。

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圆锥曲线上的定点定值

(第2课时) 学科：数学

班级：高二6班

授课时间：2017-12-15

授课人：黄良发

教学目标：

知识与技能：1、培养运算能力。2、通过引入参数，建立含参等式寻找定点。3、培养由特殊到一般的探索能力。

过程与方法:通过小组合作、自主学习培养学生分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：1、认识世界总是从特殊到一般，再由一般到特殊,数学研究也不例外，由特殊到一般,再由一般到特殊的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般思想。2、在运动中寻找不变量，动静结合，体现哲学中动静既对立又统一思想。

重点：1、掌握圆锥曲线中斜率等和子弦的定点定值。2、掌握圆锥曲线中斜率等积子弦的定点定值。

难点：运算技巧，化简。

引入：圆锥曲线上的定点定值子弦的含义

设点P是圆锥曲线上的一个定点，PA，PB是该曲线过定点P的两条弦，当直线PA，PB的斜率之积为定值时，称线段AB为该曲线上定点P的关于定值的斜率等积子弦；当直线PA，PB的斜率之和为定值时，称线段AB为该曲线上定点P的关于定值的斜率等和子弦；并把这两个子弦统称为定点P关于定值的定值子弦。

x2y2高考题回顾：(2017年，全国I卷，理数20)已知椭圆C：22=1（a>b>0），ab四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，C上. （1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，33

），P4（1，）中恰有三点在椭圆223）不可能同时在椭圆上，

2P3（–1，

33），P4（1，）一定同时在椭圆上，

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因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，33），P4（1，），

22代入椭圆方程可得：b1,131a2，

a24x2故而可得椭圆的标准方程为：y21。

4(3)

根据题题意，直线AB的斜率存在，设AB的方程为ykxm

设Ax1,y1,Bx2,y2，联立方程得

ykxm222 x2 消去y可得:4k1x8kmx4m40

2y148km4m24x1x22,x1x2

24k14k1ykxm2222 x2 消去x可得:4k1y2mym4k0

2y142mm24k2y1y22,y1y2(此题不用，后面改编题可用上) 24k14k1 kP2AkP2By11y211，即x1x2x2y11x1y21

x1x2x1x2x2kx1m1x1kx2m1

2k1x1x2m1x1x20

4m24km2k12m180

4k14k21m1m2k10

m1时，直线AB方程：ykx1过P2，舍去。

m2k1时，直线AB方程：ykx21，过定点(2,-1)。

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改编1:设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的1斜率的积为，试探l是否过定点? 4解：设Ax1,y1,Bx2,y2，则：

kP3AkP3B，即：y11y211

x1x241

y1y2y1y21x1x2

48km4m242mm24k2y1y22,y1y2

x1x22,x1x24k14k21，4k14k21

m24k22m14m24

21224k14k144k1

m2-4k22m4k211-m2

解得：m0过定点(0,0)

m1(舍去)

改编2:设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的积为1，试探l是否过定点? 4解：设Ax1,y1,Bx2,y2，则：

kP3AkP3B，即：y11y211

x1x241x1x2

4

y1y2y1y218km4m242mm24k2y1y22,y1y2

x1x22,x1x24k14k21，4k14k21

m24k22m

2124k14k114m24

244k1

m2-4k22m4k21m21

解得：

m1(舍去)

改编3:设直线l不经过P3点且与C相交于A，B两点.若直线P3A与直线P3B的斜率的积为1，试探l是否过定点? 4

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解：设Ax1,y1,Bx2,y2，则：

33y2221

，即：x11x214y1

kP3AkP3B

y1y23y1y231x1x2x1x21

2448km4m242mm24k2y1y22,y1y2

x1x22,x1x24k14k21，4k14k21

m24k232m314m248km

122

4k2124k21444k14k1

-8k28km43m60

2k34k4m230

解得：k33(舍去)

或mk22改编4:设椭圆上任意一点Px0,y0，直线l不经过P且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的积为，试探l是否过定点? 解：设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，则：

kPAkPB，即：y1y0y2y0

x1x0x2x022

y1y2y0y1y2y0

x1x2x0x1x2x08km4m242mm24k2y1y22,y1y2

x1x22,x1x224k14k1，4k14k21

代入得：

4m248kmm24k22m22

yyxx0000

22224k14k14k14k122

m24k22my04k21y0

4m248km0x4k21x022

41m28kx02y0m4k21x04k21y04k20



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10 页

x24y24

00

常数项化简为: 4k1x4k1y4k4k1x4k1yx4yk220220222022020202

4kxykx4y2241k2x0y02202022020

22

41m28kx02y0m41k2x0y00

41mkx0y0410

mkx0y0

情形1：mkx0y00

(舍去)

情形2：41mkx0y0410

41kx41y1时，m410410

44141x0y0

直线AB方程为：ykx4141

y01时，kx00

x04例3：已知抛物线C:y24x，P(0,0)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的积为–1，试探l是否过定点?

推广：已知抛物线C:y22px，Px0,y0在抛物线C上，设直线l不经过P点且

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11 页

与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的积为，试探l是否过定点? 解：设Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2，AB方程:xmyn，则：

xmyny22pmy2pn0

y1y22pm,y1y22pn

2y2px2y1y02py12px122yy2pxx21010x1x0y1y0

y2px00y2y02p同理：xxy2y0

202p2pkPAkPByyyy

020124p2

y1y2y0y1y2y024p20

2pn2y0pmy02y02p2pnmy0my0x02p

直线AB方程为：xmynmyy0x02p

x2y2小结：给定椭圆221ab0及椭圆上的定点Px0,y0。对于定值，当aba2b2b2a2b22时，定点P的斜率等积子弦所在直线经过定点x,2y；22020aababb2当2时，定点P的斜率等积子弦所在直线斜率为定值，或斜率不存在。

a给定抛物线y22pxp0及抛物线上的定点Px0,y0。对于定值，当2p0时，定点P的斜率等积子弦所在直线经过定点x0,y0。



第

12 页

附加题：(2017年4月北大自主招生题) x2已知椭圆y21，AB为长轴，M1,M2,M3,M4,M5为AB的六等分点，2过Mii1,2,3,4,5作斜率为k的直线，交椭圆于P1,P2,,P10，则AP1,AP2,,AP10这十条线的斜率之积为(

) 1A1B1C1D

2

4第

13 页

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