3.1.1 变化率问题教学设计模板

3.1.1 变化率和导数的概念

一、指导思想与理论依据

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

二教材分析：

本节课是人教Ａ版数学选修1-1第3章第1.1.1节的内容，具体内容包括：变化率问题、导数的概念及导数的几何意义等．

本节内容的教学需要４个课时，这是前２个课时（两节课连排）的教学设计．之所以如此安排，是基于如下考虑：导数是微积分最基础的核心概念，平均变化率和瞬时变化率是为导数的引入作铺垫的过渡性概念，所以将教材中的两节课整合在一起讲授，可有效地避免把记忆“平均变化率”的定义这个陈述性知识与熟练“平均变化率”的计算方式等程序性知识作为教学的终极目标，确保导数概念形成过程中所蕴含的策略性知识得到应有的重视．函数变化快慢、单调性、极值、最值和生活中优化等问题都是通过函数变化率的概念来描述或解决的．函数变化率的概念有两种不同的层面，一个是刻画函数在某一区间内的平均变化状态，即“平均变化率”；另一个是刻画函数在某处的变化状态，即“瞬时变化率”———“平均变化率”的极限值，也就是“函数的导数”．作为微积分的重要内容的导数，是为了描述运动质点的速度和曲线的切线斜率等问题而产生的，更一般地说，导数是描述函数在某一点处“变化快慢”的一个量．

三、学情分析

学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．

四教学目标：

1.知识与技能：

（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；

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2. 过程与方法

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法； 3. 情态与价值观

经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

五教学重点.难点

重点：知道瞬时变化率（平均变化率的极限）就是导数，体会导数概念形成过程中蕴含的思想———无限逼近思想、极限思想、“以直代曲”思想，理解导数的几何意义．

难点：导数的概念；

六教学方法

通过观察.类比.思考.交流和讨论等.

七教学过程

1新课引入

利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。引出学习本章的意义及重要性。

设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。

2自主学习

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为kPQf(x1)f(x0)，

x1x0设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0，∴kPQf(x0x)f(x0)

x当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQf(x0x)f(x0)无限趋近点Q处切线斜率。

x2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：

kf(x0x)f(x0)，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。

x3、瞬时速度与瞬时加速度

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(1)平均速度：

物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度

(2) 位移的平均变化率：s(t0t)s(t0)

t(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，速度

求瞬时速度的步骤：

s(t0t)s(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬

t1.先求时间改变量t和位置改变量ss(t0t)s(t0)

2.再求平均速度vs

ts无限趋近于常数v为瞬时速度

t3.后求瞬时速度：当t无限趋近于0，4.速度的平均变化率：v(t0t)v(t0)

tv(t0t)v(t0)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬t5.瞬时加速度：当t无限趋近于0 时，时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

3典型例题：

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. ff26x再求lim6

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求xx0x3x23123(x212)limlim3(x1)6解：法一（略）；

法二：y|x1limx1x1x1x1x1

（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2f(1)limlim(3x)3

x0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第

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xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

f(2x)f(x0)(2x)27(2x)15(227215)fx3

根据导数定义，xxx所以f(2)limflim(x3)3；同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。

4当堂检测

1．将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温2度（单位：c）为f(x)x7x15(0x8)。

（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

2．已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t+5t （1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。

（2）求物体在t时刻的瞬时速度。

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

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设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

5课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

3.课堂体验

6课时练与测

八、教学反思

如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念——在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。

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