3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计实例

教学设计

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

整体设计教材分析

空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容．空间向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空间上的推广和拓展，是空间向量坐标表示的基础．空间向量的坐标表示沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．在教学中应引导学生将平面向量的正交分解及其坐标表示的研究方法类比到空间向量，着重理解空间向量的坐标表示．

课时分配

1课时

教学目标

知识与技能

1．了解空间向量基本定理；

2．理解空间向量的基底、基向量的概念；

3．理解空间向量的正交分解和坐标表示．

过程与方法

1．经历由平面向量基本定理类比得出空间向量基本定理的过程，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出；

2．经历由空间向量基本定理得出空间向量的坐标表示的过程．

情感、态度与价值观

1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2．培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量基本定理的意义；

3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展、变化的，会用联系的观点看待事物．

重点难点

教学重点：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．

教学难点：空间向量基本定理的应用．

教学过程引入新课

提出问题：回忆平面向量基本定理的内容，思考平面向量基本定理的作用．

活动设计：教师提问旧知，学生回答，思考得出结论．

活动成果：

1．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb. 2．平面向量基本定理的作用：平面内任意两个不共线的向量称为平面向量的一组基底，平面内任一向量都可以用这组基底来唯一地表示．

3．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，选择平面内相互垂直的两个单位向量i，j作为平面向量的基底，任一向量p都存在唯一确定的一对实数(x，y)，使p＝xi＋yj，建立了向量和有序数对的一一对应关系，所以可以用有序数对来表示向量，故把(x，y)称为平面向量p的坐标．

设计意图：巩固学生的认知基础，为探索新知作好准备．

探究新知

提出问题1：平面向量存在基底，那么空间向量是否存在基底，基底是否唯一？

活动设计：学生先自己思考，然后小组交流，交流各自的想法；教师指导学生利用空间几何体来研究，并巡视参加学生讨论．

活动成果：

1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.

证明：(存在性)设a，b，c不共面，

→→→→过点O作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OP＝p；

过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′，连接OP′，在平面OPC内，作PC′∥OP′，交直线OC于点C′；

在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交→→于点A′，B′，于是，存在三个实数x，y，z，使OA'＝xOA＝xa，OB'＝yOB＝yb，OC'＝→zOC＝zc，

→→→→∴OP＝OA'＋OB'＋OC'＝xOA＋yOB＋zOC.∴p＝xa＋yb＋zc. (唯一性)假设还存在x′，y′，z′使p＝x′a＋y′b＋z′c，

∴xa＋yb＋zc＝x′a＋y′b＋z′c.∴(x－x′)a＋(y－y′)b＋(z－z′)c＝0. 不妨设x≠x′，即x－x′≠0，∴a＝y－y′z－z′·b＋·c. x′－xx′－x∴a，b，c共面．这与已知矛盾，∴该表达式唯一．综上两方面，原命题成立．

2．由此定理，若三向量a，b，c不共面，则所有空间向量所组成的集合是{p|p＝xa＋yb＋zc，x∈R，y∈R，z∈R}，这个集合可以看作由向量a，b，c生成的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量．

3．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

设计意图：引导学生探索出空间向量基本定理．

提出问题2：空间向量能不能用坐标表示？应如何选择空间向量的基底？

活动设计：学生自主探索；教师巡视指导．

活动成果：

1．单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

2．在空间直角坐标系O—xyz中，分别以和x轴、y轴、z轴共线的单位向量i，j，k作为单位正交基底，则对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xi＋yj＋zk，则空间向量和有序数组建立了一一对应关系，可以用有序数组来表示向量．于是，我们把(x，y，z)称为空间向量p的坐标．

设计意图：类比平面向量坐标的由来引导学生得出空间向量的坐标表示．

理解新知

提出问题：O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，是否都能找到唯一的三个→→→→有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC？

活动设计：学生自己推证，教师巡视指导．

活动成果：

→→→∵O，A，B，C是不共面的四点，∴OA，OB，OC不共面．

→→→由空间向量基本定理得，对于向量OP，存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋→→yOB＋zOC. 设计意图：加深对空间向量基本定理的理解，增强学生的应用意识．

运用新知

已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G→→→→在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG.

→→→→→思路分析：要用OA，OB，OC表示向量OG，就是要找到一组有序实数x，y，z，使OG＝→→→→→xOA＋yOB＋zOC，这主要用向量的加法及减法的性质，由向量OG入手，看一看向量OG可以由哪些向量的和或差得到．

1→21→→1→1→→→→→2→1→2→→解：OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋[(OB＋OC)－OA]＝OA323232261→1→→1→1→1→＋OB＋OC.∴OG＝OA＋OB＋OC. 33633

巩固练习

→→如图，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，→→→OC＝c.试用向量a，b，c表示向量OG和GH.

→→→→2→→→→解：∵OG＝OA＋AG，而AG＝AD，AD＝OD－OA，

3

→1→→又D为BC中点，∴OD＝(OB＋OC)．

22→1→→→1→→2→→2→→→21→→∴OG＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)＝OA＋×(OB＋OC)－OA＝(OA＋OB＋OC)＝3332333(a＋b＋c)．

→→→而GH＝OH－OG，

1→2→21→→又∵OH＝OD＝×(OB＋OC)＝(b＋c)，

332311→1∴GH＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. 3331→1→∴OG＝(a＋b＋c)，GH＝－a. 33

达标检测

→→→1．O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则(

) →→→→→→→A.OA，OB，OC共线

B.OA，OB共线

C. OB，OC共线

D．O，A，B，C四点共面

→→→2．在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，→则OE＝________.(用a，b，c表示) 3．设{i，j，k}是空间向量的一个正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是________．

1答案：1.D

2.(a＋b＋c)

3.垂直

3

课堂小结

1．知识收获：空间向量基本定理；空间向量的坐标表示．

2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．

3．思维收获：类比思想、转化思想、基底思想．

布置作业

课本习题3.1A组第11题、补充练习．

补充练习

基础练习

1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向

量是(

) A．a

B．b

C．a＋2b

D. a＋2c

2．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(12,14,10)

B．(10,12,14)

C．(14,12,10)

D．(4,3,2)

π3．在直三棱柱ABO—A′B′O′中，∠AOB＝，|AO|＝4，|BO|＝2，|AA′|＝4，D为2→→A′B′的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，DO的坐标是________，A′B的坐标是________．

答案：1.D

2.A

3.(－2，－1，－4)

(－4,2，－4) 拓展练习

4．设四面体OABC的棱OA，BC，OB，AC，OC，AB的中点分别是P，Q，R，S，M，N.试判断线段PQ，RS，MN的中点是否重合，用向量证明你的判断．

→→→证明：选择OA，OB，OC作为空间向量的一组基底．设PQ的中点为D，RS的中点为E，MN的中点为F. 11→1→→1→→→→1→→→1→→OA＋OB＋OC＝(OA＋OB＋OC)．同理可得OE＝(OA＋OB则OD＝(OP＋OQ)＝242224→→1→→→＋OC)，OF＝(OA＋OB＋OC)，

4→→→∴OD＝OE＝OF，且三个向量有相同的起点O. ∴D，E，F三点重合，即线段PQ，RS，MN的中点重合．

设计说明

本节课介绍了空间向量基本定理和空间向量坐标表示．空间向量基本定理由学生根据平面向量基本定理类比发现，然后选择一组正交基底得到向量的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生根据已有知识基础把新知识类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行巩固练习，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．

备课资料

1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD→→＝1.求MN、DC的坐标．

思路分析：选择一组正交基底，写出向量的坐标即可．

解：∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，

→→→∴设DA＝i，AB＝j，AP＝k. 以i、j、k为正交基底建立空间直角坐标系A—xyz. →→→→→→1→∵MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋PC

2→→1→→→＝MA＋AP＋(PA＋AD＋DC) 211＝－j＋k＋(－k－i＋j) 2211＝－i＋k，

2211→→∴MN＝(－，0，)，DC＝(0,1,0)．

22点评：空间直角坐标系的建立需寻求三条两两互相垂直的直线，应重视向量的坐标的定义．

→→→2四棱锥P—OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E、F→→→→分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示：BF、BE、AE、EF. 111→1→1→→1解：BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，

2222221→1→→11→→→BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)＝－a－b＋c，

222211→→→→→1→→AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋b＋c，

222→1→1→1EF＝CB＝OA＝a. 222点评：空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出任一空间向量，要注意应用三角形法则、平行四边形法则．