3.1.2 导数的概念优质课教案推荐

导数的概念教学设计

一、案例背景

1、教材分析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用。本节内容是人教A版选修1-1第三章第一节的内容，是学生接触导数的第一节课。它是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础，是研究事物变化快慢、研究函数的单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。

2、学情分析

学生对函数的极限不太熟悉,在认知能力上对新事物认识能力较为欠缺；但在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度。因此，教师从两个具体背景出发，借助多媒体形象的演示，就能促使学生很自然地从感性认识向理性认识发展，从形象思维向抽象思维转型。

3、具体教学内容

“导数的概念”是全章核心不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是用导数的

运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果。导数的方法是今后全面研究微积

分的重要方法和基本工具。本节课属于理论教学，主要通过教师讲解、演示，学生观察、思考，从而完成教学目标。

二、教学目标

在知识方面，了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。

在能力方面，重在培养学生领悟函数思想和无限逼近的极限思想,培养学生归纳、抽象和概括的能力。

在情感方面,通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点。接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

三．教学重、难点

重点：导数的概念的形成过程。

难点：对导数概念的理解。

四、教学过程设计

（一）

创设情境，导入新课

问题一：很多人都吹过气球。吹气球的时候都会有这样的感受：越来越难吹。如果把气球近似的看成球体，如何从数学的角度描述这种现象呢？将气球膨胀率作为平均变化率的一个应用，避免由于气球膨胀问题本身的复杂性导致的困难，激发学生的求知欲，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力。

与学生共同探讨：

⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)

21⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1

问题二：结合教材第73页“高台跳水”回答问题：如何计算运动员在[0,0.5],[0.5,1],[1,1.5]这三段时间内的平均速度？由实际问题入手，让学生对变化率有形象的认识，引入平均变化率的定义，而且为学生自主研究气球膨胀率做铺垫。

0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)；

0.50h(2)h(1)在1t2这段时间里，v

21在0t0.5这段时间里，v思考：如何求函数

f (x)从x1到x2的平均变化率？

【设计意图】由两个实际问题引出问题如何求函数

f (x)从x1到x2的平均变化率，这是从实际问题到抽象的函数的一个过渡。

（二）概念解析，实例分析

1．平均变化率概念: 上述问题中的变化率可用式子

f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

x2x12．若设xx2x1, yf(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样yf(x2)f(x1)) 3．

则平均变化率为yx＝f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

x2x1x思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率yf(x2)f(x1)表示什么? xx2x1师生共同探讨得出上式表示的是割线的斜率。

问题三：当x0时，割线如何变化？y如何变化？

x

从学生回答问题过程中，利用逼近思想，引出y在x0时的极限就是瞬时变化率，x而这个瞬时变化率就是yf(x)在xx时的导数：

一般地,函数yf(x)在xx处的瞬时变化率是limf(xx)f(x)ylim,x0xx0x我们称它为函数yf(x)在xx处的导数,记作f(x)或y|xx,即f(x)=limf(xx)f(x)ylim. x0xx0x思考：导数的几何意义是什么？

例题：已知函数f(x)x22x，求f(x)在x1处的导数

[设计意图] 使学生认识到平均变化率当x0的极限就是平均变化率，并结合实例让学生加以理解． （三）总结步骤，新知应用

由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为: 第一步，求函数增量yf(x0x)f(x0)；

第二步，求平均变化率yf(x0x)f(x0)；

xx'第三步，求平均变化率的极限，即导数f(x0)lim一差、二化、三极限

巩固练习：1、求yx在点x=1处的导数．

2y．

x0x2、练习：设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于

(

) A．2

B．－2 C．3

D．－3 3:、求y2x4x在点x3处的导数. [设计意图]总结求函数导数的步骤，并通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力．

（四）课堂小结，巧妙设疑

教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：

1．知识：导数的概念. 2．思想：特殊与一般、化归的思想．

教学内容完成后，让学生畅谈学习收获与感想，教师做简单总结，同时对学生的积极参与给予充分肯定。用这样的方法处理问题时，的确相当复杂困难，那么我们就有必要寻求2

更为便捷的方法。到底是什么方法呢？一个巧妙的设疑，激发学生的进一步求知。

[设计意图] 加强对学生学习方法的指导．进一步激发学生学习的积极性。

（五）布置作业

1、若函数yf(x)在点x0,f(x0处的切线方程为3xy10，则(

) A

f(x0)>0

B f(x0)<0

C f(x0)=0

D f(x0)不存在

2、求曲线yx2在P（1，1）处的切线方程

（六）课后反思：

“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.本节课教师讲解较多，应多给学生一些思考的时间