1.1.3 四种命题间的相互关系课堂实录及点评

1.1.3 四种命题间的相互关系

问题引航：1.四种命题的相互关系是什么?你会用图示表示它们之间的关系吗? 2.四种命题的真假情况有几种?你会列表表示吗? 1.四种命题的相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:

(2)四种命题的真假性之间的关系: ①两个命题互为_________,它们有相同的真假性. ②两个命题为_________或_________,其真假性没有关系. 自我小测

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.(

) (2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.(

) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.(

) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是

(填“真”或“假”)命题. (2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是

命题.(填“真”或“假”) (3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为

,其真假情况为

(填“真命题”或“假命题”). 知识点

四种命题间的关系

对四种命题相互关系的三点认识

(1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性. (2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,有两对互逆命题,两对互否命题,两对互为逆否命题.它们分别为: ①两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题. ②两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题. ③两对互逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题. (3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化证明其逆否命题. 【知识拓展】等价命题的证法与反证法

在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛

盾,从而得出假设不成立. 【微思考】

(1)在四种命题中,它们的真假性有什么关系? (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同吗? 【即时练】

原命题、逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数是____个. 【题型示范】

类型一

四种命题的相互关系

【典例1】

(1)若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的(

) A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.以上判断都不对

(2)命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是

(

) A.若q不正确,则p不正确

B.若q不正确,则p正确

C.若p正确,则q不正确

D.若p正确,则q正确

【解题探究】1.题(1)中命题p的条件与结论与命题r的条件与结论有什么关系? 2.题(2)中原命题的逆命题是什么?逆命题的等价命题是什么? 【延伸探究】题(2)中“逆命题的等价命题”若换为“否命题的等价命题”,其结果又如何呢? 【方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法

方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系. 2【变式训练】(2014·陕西高考)原命题为“若

假性的判断依次如下,正确的是

(

) A.真,真,真

B.假,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假

【补偿训练】若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是s,则p是s的

命题. 类型二

等价命题的应用

【典例2】

(1)命题:“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2 ≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题是

命题(填“真”

或“假”). (2)证明:如果p2+q2=2,则p+q≤2. 【解题探究】1.题(1)中解集为空集的含义是什么?需要具备哪些条件? 2.题(2)中命题的逆否命题是什么?

n1ana