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课题：二次函数的应用

主讲人：御河中学

刘自成

教学目标：

知识与能力：

1．进一步理解二次函数的相关知识，并能灵活运用。

2．能根据已知条件灵活地求二次函数解析式，并解决实际问题。

3．培养学生的综合分析能力，提高解题技能。

过程与方法：

引导学生尝试如何应用二次函数的相关知识解决问题。

情感、态度与价值观：

通过引导学生解决实际问题，使学生感受数学与现实世界的密切联系，体验数学活动中充满着探索性和创造性。

教学重点：应用二次函数的相关知识解决问题。

教学难点：如何应用二次函数的相关知识解决问题。

教学方法：导学法。

教具准备：教师准备：制作多媒体课件。

学生准备：复习二次函数的图像和性质及其解析式的求法。

教学设计：

一．知识回顾：求二次函数解析式的常用方法：

（1）若已知抛物线上的任意三点，则可设其解析式为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) （2）若已知抛物线的顶点坐标为（h,k）则可设其解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k.(a≠0)

(3)若已知抛物线与x轴二交点的坐标是（x1,0）、(x2,0),则可设其解析式为二根式：y=a(x-x1)(x-x2).(a≠0) 二．实践与探索：

例1.选择：（答案唯一）

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=bx+4ac-b2与反比例函数yy

abc在同一坐标系中的大致图象是（

）

xy y y y

-1 O 1 x O x O x O x O x

A B C D 例2.如图，一抛物线型拱桥，拱顶0离水面的

距离OC=4米，水面宽AB=10米。现有一竹排运送一

只货厢想从桥下经过，一只货厢长8米，宽6米，高

2.4米（竹排与水面平行）。问货厢能否顺利通过该桥？

说明理由？

例3.如图，已知抛物线y=ax+bx-3与x轴

交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C 三点的圆的圆心M（1，m）恰好在该抛物线的

对称轴上，⊙M的半径为5，设⊙M与y轴正

半轴交于点D，抛物线的顶点为E。

（1）求m的值及抛物线的解析式？

C E 2O A C B y D A O B x M （2）探究：y轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与⊿BCE相似？若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由。

三．课堂小结：解与二次函数相关的实际问题的一般步骤：

（1）读懂题意，建立恰当的平面直角坐标系。

（2）依据已知条件确定相应点的坐标。

（3）合理地设出所求函数的关系式。

（4）代入已知条件或已知点的坐标，求出相应的函数关系式。

（5）利用所求出的函数关系式、函数图像的对称性、增减性、最大（小）值去解决问题。

因此，同学们应该学会从某一问题背景中通过分析抽象出二次函数的数学模型以解决问题。

四．练习：

（一）、巩固练习：

1.填空：

1(1)如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=X2的图像，

21C2是函数y=-X2的图象，则阴影部分的面积是________。

2O x y C1

C2

+1(2)若y=（m+1）xm²－4mx－６是ｘ的二次函数，则ｍ＝＿＿，函数解析式是_____________，该函数图像的开口_______，对称轴是_______，顶点坐标是_________，与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是__________，当x________时，y随x的增大而增大。

2．选择：已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，有以下结论：

①abc<0

②a-b+c>1

③4a-2b+c>0

④c-a<1

⑤方程ax2+bx+c=0的二根之和小于0，

其中正确结论的序号是（

）

A. ①. ②

B. ①. ③

C. ①. ③. ④

D. ②. ③. ⑤

-1 O y 1 1 x

（二）、课外作业：

1．填空：

(1)已知二次函数的图象经过原点及点Q（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为___________________。

(2)二次函数y=x2－2x－3的图象关于坐标原点对称的图象解析式为____________________。

2．如图，某校计划将一块形状为锐角⊿ABC的空地

进行生态环境改造，已知⊿ABC的边BC=120m、

高AD=80m。学校计划将它分割成⊿AHG、

B H K G A 1214E D F C ⊿BHE、⊿CFG和矩形EFGH四部分，其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在AB、AC上，现计划在⊿AHG上种草，每平方米投资6元；在⊿BHE和⊿CFG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上建爱心鱼池，每平方米4元。（1）.当FG为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（2）.当矩形EFGH的边FG为多少米时，⊿ABC空地改造总投资最小？最小值为多少元？

3．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，

A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB 的中点P为圆心、AB为直径作⊙P与y轴的正半轴

交于点C。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式？

（2）设M为（1）中抛物线的顶点。求直线MC的函数解析式？

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系？并证明你的结论。

N B O y M C A P x