习题4.1优质公开课教案

高二（上）数学专题复习（一）

-----圆的方程

【知识梳理】

一、圆的方程

：

1.标准式：(xa)2(yb)2r2；

2.一般式：x2y2DxEyF0. DED2E24F当DE4F0时，是以(,)为圆心，以为半径的圆；

222DE22当DE4F0时，为点(,)；

2222当DE4F0时，图形不存在.

22注：圆的另外两种表示

（1）直径式：以点A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0；

（2）到定点A,B的距离比为定值k(k0,k1)的点P的轨迹是圆. 二、点与圆的关系

设圆C:

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A、B是该圆直径的端点，点M(x0，y0)，

uuuruuur（1）(x0－a)＋(y0－b)＝r⇔点M在圆上MAMB0；

uuuruuur222（2）(x0－a)＋(y0－b)>r⇔点M在圆外MAMB0；

uuuruuur222（3）(x0－a)＋(y0－b)

222三、直线与圆的位置关系

1、三种位置关系：相交、相切、相离．

2、两种研究方法：

四、圆与圆的位置关系

222设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0). 几何法：圆心距d与r1，r2的代数法：两圆方程联立组成方

位置关系

关系

程组的解的情况

相离

d>r1＋r2

无解

外切

d＝r1＋r2

一组实数解

相交

|r1－r2|

两组不同的实数解

内切

d＝|r1－r2|(r1≠r2)

一组实数解

内含

1

0≤d<|r1－r2| (r1≠r2)

无解

【例题解析】

题型一.圆的方程

（一）确定圆的方程

解题思路：确定圆的方程，即是确定a,b,r或D,E,F的值.一般有两种方法：

（1）直接法，即借助几何性质确定圆心的位置、半径的大小；

（2）待定系数法，这时需要根据题意合理选择圆的方程的形式.

2t，(t∈R，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，例1、已知以点Ct其中O为坐标原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

例2、求下列圆的方程：

（1）圆心在直线l1:xy10上，圆与直线l2:4x3y140相切，且截直线

l3:3x4y100所得弦长为6.

（2）过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且在点P处的切线斜率为1.

解题反思：待定系数法求圆的方程时，要学会优化解法，即明确“一般方程”与“标准方程”的最佳适用条件.

2

变式：

(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

（1）求圆C的方程；

解题反思：借助韦达定理研究曲线交点的坐标，是解答解析几何问题的常用技巧. （二）圆的方程的其它表示方法

uuruuuruuruuur（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且|OAOB||OAOB|，求a的值．

例3、（1）（2014北京）已知圆C:x3y41和两点Am,0，

Bm,0m0，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（

）

A.7

B.6

C.5

D.4

（2）（2014湖北）已知圆O:xy1和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数满足：对圆O上那个任意一点M，都有|MB||MA|，则b ， .

变式：(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径

为1，圆心在l上．

①若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

②若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

3 2222

题型二.点与圆的位置关系

例4、设A、B分别是圆O:x2y24与x轴的两个交点，P为直线x4上的任意一点（异于与x轴的交点），若直线AP、BP分别与圆O相交于异于A、B的点M、N. uuruuur（1）设AM的中点为Q，求QAQB的取值范围；

（2）证明：点B在以MN为直径的圆内.

解题反思：“点与圆的位置关系”的代数形式是怎样的？圆上点的横（纵）坐标的范围怎样确定？

变式：（2014全国Ⅱ）设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点N，使得

∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.

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