3.1直线的倾斜角与斜率（通用）全国优秀课堂实录

3.1.1直线的倾斜角和斜率

一、教学目标：

⒈

知识与技能目标：

(1)

正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性；

(2)

理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系；

(3)

理解直线的斜率的存在性；

(4)

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

⒉

过程与能力目标：

⑴

经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想；

⑵

经历代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法；

⑶

初步体验坐标法，感受数形结合的思想。

通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

⒊

情感、态度与价值观目标：

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

二、教学重难点：

教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率公式；

教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

三、教学用具：多媒体教学设备、电子白板．

四、教学方法：启发、引导、讨论.教学过程中，在教师的引导与组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现教学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程。

五、教学过程：

（一）

导入新课：

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线．那么, 经过一点P作直线l1能作出多少条直线l1? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线区别在哪呢?

YabcOPX

（二）讲授新课：

引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同．那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈

直线的倾斜角：

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的

角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0°.

．．．问题: 倾斜角的取值范围是什么? （0180）

0180且当直线l与x轴垂直时,90 . 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，知道了直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. YaObXc

如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的，所以一个倾斜角不能确定一条直线. 于是得到确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: ①．两点确定一条直线； ②．一个点和一个倾斜角.

．．．P．．．．．．．⒉

直线的斜率: 通过初中学过的坡度比与坡脚的关系来引入直线的斜率的概念. 我们规定：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是ktan. 2kktan[0,)(,π)π2π2π2Oπ2πk(,)a00aπ2πaπ232ak0k0k0

aπ时，k不存在2

⑴当直线l与x轴平行或重合时,0,ktan00

；

⑵当直线l与x轴垂直时, 90

, k

不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°时, k = tan45°= 1；

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－

45°) = - tan45°= -1.

学习了斜率之后, 我们知道斜率也可以用来表示直线的倾斜程度.做PPT上的练习，通过做练习来强调斜率概念易错点. 既然两点确定一条直线，给定直线上两点，那这条直线就是确定的，那么它的倾斜角就确定了，如果斜率存在，那斜率就是一个确定的数，那么我们能不能计算出斜率这个确定的数呢？下面大家来做两道练习：

⑴.

作出过点A(0,1)、B(-1,0)的直线，并求出该直线的斜率kAB；

⑵.

作出过点C(1,2)、D(2,3)的直线，并求出该直线的斜率kCD. 通过练习来发现直线上任意两点与该直线的斜率之间的关系，从而引入直线的斜率公式.

问题：给定两点p1x1,y1,p2x2,y2x1x2，如何计算直线p1p2的斜率k？

通过借助于PPT动画演示：直线的p1p2四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导(略).从而得到：

⒊直线的斜率公式: y2y1y1y2ktanax1x2.x2x1x1x2

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1同样，当P2P1的方向向上时，也有x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，此时倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与p1,p2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,

但分子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4) 当y1y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

思考：通过PPT展示，渗透数形结合的思想．

1．已知直线上两点p1x1,y1,p2x2,y2x1x2，运用上述公式计算直线

斜率时，与p1,p2两点坐标的顺序有关吗？

2．当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

3．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？

（三）典例讲解：

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

分析：已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值；

而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角；

而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角；

而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°．

略解:

直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角；

直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角；

直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角．

讲完学生做巩固练习的练习1，2（PPT上）．

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1,l2,l3及l4．解：取l1上某一点为A1的坐标是(x1,y1)，根据斜率公式有:y101,x10即x1y1.yA3l3l1A1A2xl2l4A4设x11，则y11，于是A1的坐标是(1,1)．过原点及A1(1,1)的直线即为l1．l2是过原点及A2(x2,y2)的直线，l3是过原点及A3(x3,y3)的直线，l4是过原点及A4(x4,y4)的直线．

分析：要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点A，而A的坐标可以根据

直线a的斜率确定；

或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可(用计算机作动画演示画直线l1,l2,l3与l4的过程) ．

（四）巩固练习：

⑴．已知直线l经过点p13,5,p2x,7,p3(1,y)，若直线l的斜率k2，求x,y的值。

⑵．①．画出过原点且斜率为2的直线；

②．画出过点（0,2）且斜率分别为2和-2的直线。

⑶．书上第86页练习⑵．

（五）归纳小结：

(1) ．直线的倾斜角；

(2) ．直线的斜率；

(3) ．直线的斜率公式．

(六) 课后作业：

⑴．课本89页习题3.1.1A组1~5题；

(2)．三导第80页练习二十一．

（七）板书设计：

3.1.1倾斜角与斜率

1．直线倾斜角的概念

例1……

练习1

2. 直线的斜率

3. 直线的斜率公式

例2……

练习2

作业：……

六、教学反思：