3.2.1 几个常用函数的导数第一课时导学案

3.2.1几个常用函数的导数教案

教学目标：

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2. 利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

1．重点：推导几个常用函数的导数；

2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：

一

复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二

新课

例1．推导下列函数的导数

f (x ) =c ∆y f (x +∆x ) -f (x ) c -c ===0，

解：∆x ∆x ∆x

∆y f ' (x ) =lim =lim 0=0 ∆x →0∆x ∆x →0（1）

1. 求f (x ) =x 的导数。

∆y f (x +∆x ) -f (x ) x +∆x -x ===1，

∆x ∆x ∆x

∆y ' =lim 1=1。

f (x ) =lim ∆x →0∆x ∆x →0解：

y ' =1表示函数y =x 图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y =x 表示路程关于时间的函数，则y =1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y =x ，y =2x ，y =3x ，y =4x 的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数y =kx (k ≠0) 增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k 2. 求函数y =f (x ) =x 的导数。

2' 1 ∆y f (x +∆x ) -f (x ) (x +∆x ) 2-x 2 ===2x +∆x ，

解：

∆x ∆x ∆x

y ' =f ' (x ) =lim ∆y =lim (2x +∆x ) =2x 。

∆x →0∆x ∆x →0 y ' =2x 表示函数y =x 2图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：

(1) 当x （2）当x>0时，随着

x 的增加，y =x 2增加得越来越快。

3. 求函数y =f (x ) =1的导数。

x 11-∆y f (x +∆x ) -f (x ) x -(x +∆x ) 1====-2解：

，

∆x ∆x ∆x x (x +∆x ) ∆x x +x ⋅∆x y ' =f ' (x ) =lim ∆y 11=lim (-2) =-2 ∆x →0∆x ∆x →0x +x ⋅∆x x 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

k =f ' (1)=-1，所以其切线方程为y =-x +2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三

例题

1. 试求函数y =f (x ) 解：

∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==∆x ∆x =

y ' =f ' (x ) =lim ∆y =lim =∆x →0∆x ∆x →2 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线y =x 上的两点，求与直线PQ 平行的曲线

的切线方程。

解：y =2x ，设切点为M (x 0, y 0) ，则y ' ' x =x 0=2x 0. 2 因为PQ 的斜率k =4-1 2+1=1, 又切线平行于PQ ，

所以k =2x 111 0=1，即x 0=2，切点M (2, 4) ，

所求直线方程为4x -4y -1=0。

四

练习

1. 如果函数f (x ) =5，则f ' (1)=（

）

A. 5 B. 1 C. 0 D. 不存在

2. 曲线y =-2x 2+1在点（0，1）的切线斜率是（

）

A.-4 B.0 C.2 D. 不存在

3. 曲线y =1 2x 2在点(1,1 2) 处切线的倾斜角为（

）

A. -π

4 B. 1 C. π

4 D. 5π

4 答案：

1.C 2.B 3.C 五

小结

1. 记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2. 在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。

六

作业

1. P85 ，A 组

1 2. 求双曲线y =1 x 过点(2,1 2) 的切线方程。