小结第二课时教学实录

《圆锥曲线离心率的常用求法》教学设计

授课教师

崔光丽

授课时间

2018年12月11日

教学题目

所选教材

教材分析

授课对象

授课地点

高二（15）全体学生

六楼大教室

圆锥曲线离心率的常用求法

人民教育出版社版高中数学选修1-1圆锥曲线

本节课是人教版高中数学选修1-1第二章小专题圆锥曲线离心率的常用求法。椭圆与双曲线的离心率是本章的重点内容，在学习本节知识前，学生已经了解椭圆与双曲线的概念、方程、基本性质。求解椭圆、双曲线的离心率是重点内容。灵活运用求解椭圆、双曲线的离心率得几种常用方法是本节的难点。

学情分析

本节是圆锥曲线与方程这一章的一个小专题，在之前学生学习了椭圆与双曲线这两个内容，其中圆锥曲线的性质为学习本节课打下了一定的理论基础，因此理论上学生应该不难理解本节课。本节课宜采用先从基础知识切入再根据实际问题探索解决问题的方法的教学方法，要让学生通过自己的思考总结求圆锥曲线离心率的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。空间思维能力对本节学习至关重要，为方便对问题的分析，针对离心率的专题我专门自制了课件，通过对以往知识的复习和具体问题的应用总结常用的求离心率的方法，本节重难点还在于在分析时要能将实际的问题与以前的知识相联系。要使学生能够掌握求离心率的方法，因此针对这一问题我做了一定的巩固训练。

知识与技能： 1.理解椭圆与双曲线的离心率概念

教学目标

2.掌握求椭圆与双曲线的离心率的几种常用方法

过程与方法：

1.通过教师讲解、分析、归纳、总结出求离心率的方法。

2.培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力，解决问题的能力

情感态度与价值观：

1.通过自主思考、参与推导，让学生真正做到融入课堂，有助于培养学生形成多动手、多动脑、多总结的好习惯。

2.通过分析一般情况下求离心率的方法，使学生形成认识事物规律要抓住

一般性的科学方法。

核心素养

数学建模，逻辑推理，数学运算

1

教学方法

课前准备

启发法、讲解法、讨论法、练习法

1．学生的准备：认真预习课本及学案内容

2．教师的准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案

师生活动

教学过程

（一）复习提问： 1 椭圆标准方程? a,b,c三者之间满足等式? 离心率: 范围：

2 双曲线标准方程？ a,b,c三者之间满足等式? 离心率： 范围：

3 抛物线的离心率：

复习引入：由于抛物线的离心率是1，一个定值。常常求椭圆和双曲线的离心率

离心率：是刻画圆锥曲线性质的重要参数，求离心率的数值和范围问题一直是高考命题的热点，离心率问题

涉及解析几何，平面几何，代数等多个知识点，能够很好地考查学生分析问题，解决问题的能力。

既然离心率这么重要，这节课我们就共同来学习《求离心率的常用方法》

（二）推进新课

求离心率的值：

1.

求离心率之方法一：直接求 a , c 求解 e

过关1： 如果双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率( )

提问

学生

出示课件

板书课题

提问3学生

36A 2 B 2 C 2 D 2

训练：若椭圆经过原点且焦点为 F1(1,0), F2(3,0)则其离心率为（ ）.

1132引导A 4

B

3

C 2

D4

提问

【设计意图】

由训练题中用到椭圆定义引出方法二

2. 求离心率之方法二：定义法

（利用椭圆和双曲线定义求离心率）

过关2： A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1 提问的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．

学生

22

xy训练：（陕西卷9）设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，Pab提问

是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(

) 探究

3113

A.

B. C.

D.

6323

【设计意图】可以先求出a，c的值，再求离心率；也可以列关于离心率的方程

求解，引出方法三

2

3. 求离心率之方法三：方程法（根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，构造a,c的关系，进而得到关于e的一元方程，然后求解得离心率 e）

222222过关3： 若椭圆b x＋ay＝ab(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，∠ABF＝90°，则椭圆的离心率为(

) y

B

A

F O x

讨论提问

【设计意图】一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关

于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，

则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以

使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题

是最好的，此时无招胜有招！

4. 求离心率之方法四：定理法（运用正余弦定理）

22xy

过关4：（2013.辽宁）

已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的启发4提问

直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝5，则C的

离心率e＝________

2xy2

22训练(2016年衡水中学二调）

设F1，F2是双曲线C：

a

- b

＝1(a>0，b>0)提问的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则学生C的离心率为________．

教师

补充

5.求离心率之方法五：数形结合法

22xy过关5：（江苏卷12）

在平面直角坐标系xOy中设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距

ab

a2为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P，0作圆M的两条切线互相垂直，c

则该椭圆的离心率为________．

求离心率的取值范围.

一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来

研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或

3

双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1

提高题

启发y2x2引导22已知双曲线 a - b =1（a>0,b>0) 与

直线y＝2x有交点，则双曲线学生的离心率的取值范围是(

) 回答

5 ) B (1,5) U(5,＋∞) A (1,

C ( , ＋∞) D[5 ,＋∞)

【设计意图】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线

斜率范围，从而求出离心率范围．

也可利用代数方法:联立方程组，消去一个未知数，

得到另一个求和数的一元二次方程，讨论二次项系数和根的判别式得到离心率范围。

（三）课堂小结

1，求离心率常用方法：

直接法，定义法，方程法，定理法，数形结合法

2，求圆锥曲线离心率问题，通常有两类：

教师

一类是求椭圆

和双曲线的离心率；

总结

一类是求椭圆和双曲线离心率的取值

（四）课后作业

1，完成对应训练 加强2，搜集两道求离心率取值范围的题，并解答出来。

巩固

5（五）板书设计：

求离心率的常用方法

1，求离心率值 2，求离心率范围

教学反思： 优点： 缺点：

4

5