1.1.3 四种命题间的相互关系优质课教案

1．1.2.3 四种命题和四种命题间的相互关系

基础梳理

1．原命题与逆命题．

想一想：“若x＞y，则x＞y”的逆命题是__________________．

2．原命题与否命题．

22

想一想：“若x＞y，则x＞y”的否命题是________________________．

3．原命题与逆否命题．

22

想一想：“若x＞y，则x＞y”的逆否命题是________________________．

4．四种命题之间的关系：

22

5．四种命题的真假性之间的关系：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．

想一想：命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题；它的逆否命题：

“______________________”也是真命题；否命题“________________”是假命题，逆命题

“________________________________________________________________________”也是假命题．

基础梳理

1．(1)条件

结论

(2)“若q，则p”

想一想：若x＞y，则x＞y

2．(1)否定

(2)“若綈p，则綈q”

想一想：若x≤y，则x≤y

3．(1)否定

互换

(2)“若綈q，则綈p”

想一想：若x≤y，则x≤y

5．相同的

没有关系

想一想：若sin x≠sin y，则x≠y

若x≠y，则sin x≠sin y

若sin x＝sin y，则x＝y

自测自评

1．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1个 B．2个

C．3个 D． 4个

2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

3．有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x

(3)“若x≤3，则x－x－6>0”的否命题；

(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．

222222222

其中真命题的个数是(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

自测自评

1．解析：由a＞－3⇒a＞－6，但由a＞－6D⇒/a＞－3，故真命题是原命题及原命题的逆否命题，故选B. 答案：B 2．B 3．解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．

(2)是假命题．原命题(如取x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．

(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x－x－6≤0”，显然是假命题．

(4)是假命题．该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．

答案：B 基础巩固

1．下列命题中，正确的个数是(

) ①“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

1．C 2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是(

) A．若A∪B≠A，则A⊇B

B．若A∩B≠A，则AB

C．若A2B，则A∩B≠A

D．若A⊇B，则A∩B≠A

2．解析：先明确条件和结论，再根据要求进行转换．

答案：C 3．(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a＋b，那么x≥2ab”的等价命题是(

) A．如果x＜a＋b，那么x＜2ab

B．如果x≥2ab，那么x≥a＋b

C．如果x＜2ab，那么x＜a＋b

D．如果x≥a＋b，那么x＜2ab

3．解析：等价命题即为原命题的逆否命题，故选C. 2222222222

答案：C 4．命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的等价命题是____________________．

4．解析：原命题与逆否命题是等价命题，所以，命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β，则α≠β”．

答案：若sin α≠sin β，则α≠β

能力提升

5．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数

5．解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数．

答案：A

6．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

6．解析：原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b＜2”，是真命题，故原命题为真；原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，如a＝3，b＝－2，满足条件，可是结论不成立．

答案：A

7．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为________________________________________________________________________．

7．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．

8．给定下列命题：

①“若k>0，则方程x＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；

②若f(x)＝cos x，则f(x)为周期函数；

2

③“若A＝B，则sin A＝sin B”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为零”的否命题．

其中真命题的序号是________．

8．解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命题为真．所以①是真命题．

显然②是真命题．

③的逆命题：“若sin A＝sin B，则A＝B”是假命题．

④的否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．

答案：①②④

9．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题P的否命题；

(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．

9．解析：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax＋bx＋c＝0有实根．”

(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b－4ac>0⇒二次方程ax＋bx＋c＝0有实根．

所以该命题是真命题．

10．已知集合A＝{x|x－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．

10．解析：因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅. 32设全集U＝{m|Δ＝(－4m)－4(2m＋6)≥0}，则U＝mm≤－1或m≥. 222222假设方程x－4mx＋2m＋6＝0的两根x2，x2均非负，则有

2m∈U，m∈U，3x2＋x2≥0，⇒4m≥0，⇒m≥，

2x2x2≥02m＋6≥03又集合mm≥关于全集U的补集是{m|m≤－1}，

2所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．