2.1.4 平面与平面之间的位置关系ppt配套的教案及板书设计

高

二

数

学（第19周）

主讲教师：王承明

【教学内容】

1、两个平面的位置关系

2、两个平面平行的判定和性质

【教学目标】

分清两个平面的位置关系：能利用两个平面平行的判定定理以及课本中例1来判定两个平面平行；能根据两个平面平行的性质定理证明两条直线互相平行；能利用课本中例2证明直线和平面垂直；理解两个平行平面的距离这一概念，能求两平面间的距离。

【知识讲解】

没有公共点——两平面平行

1、两个平面的位置关系有两种：

有一条公共直线——两平面相交

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

2、证明两平面平行的方法：

（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这

个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：

a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β．

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则a∥β．

3、两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：

“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β．

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：

“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证

线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题）

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本P38习题五4）

4、两平行平面间的距离是指它们的公垂线段的长度，即与两平面都垂直的直线夹在两平面之间的线段的长度。

5、线线平行、线面平行、面面平行的比较。

“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”都是通过“没有公共点”来定义的。“线线平行”可转化为“线面平行”，“线面平行”可转化为“面面平行”。反之，“面面平行”又可得“线面平行”和“线线平行”，“线面平行”又可得“线线平行”这几者之间存在着内在联系。

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例1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点。求证：平面EB1D1∥平面FBD。

D1C1 分析：要证“面面平行”,只要证“线面平行”，要证平面A1BD∥B11A平面B1D1C，可证平面A1BD中两条直线与面B1D1C平行。

F 证明：（1）由B1B∥DD1得B1D1∥BD，BD平面B1D1C，B1D1平面EGCB1D1C, D ∴BD∥平面B1D1C，同理由A1D∥B1C得A1D∥平面B1D1C，而A1B∩BD=B AB ∴平面A1BD∥平面B1CD （2）由BD∥B1D1得BD∥平面EB1D1，取BB1中点G，AE∥B1G得B1E∥AG GF∥BC BC∥AD得GF∥AD ∴AG∥DF ∴B1E∥DF ∴DF∥平面EB1D1

∴平面EB1D1∥平面FBD

评述：要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行。

例2：如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行，已知α∥β, α∥r,求证β∥r。

证法一：（反证法）

假设β∥r，则设β∩r=α，设A∈α，则A∈β，且A∈r，而β∥α，r∥α，即过点A有两个平面平行于平面α，与“经过平面外一点只有一个平面与已知平面平行”矛盾。 ∴假设不成立 ∴β∥r 证法二：设直线l⊥平面α，∵α∥β ∴l⊥β， 又∵α∥r ∴l⊥r ∴β∥r

例3

: 经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

求证：过点A有一个平面且只有一个平面β与平面α平行．

证明：过点A作直线l，使其l⊥α．

过点A作一平面β，使其平面β⊥l，则平面β∥平面α．

∵过点A作直线l⊥平面α，直线l是唯一的．

又过点A作平面β⊥l，平面β也是唯一的．

∴过点A，且与平面α平行的平面β是唯一的．

例4： a、b是两条异面直线，求证：

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(1)过a和b分别存在平面α和平面β，使α∥β；

(2)α和β的距离等于两条异面直线a和b的距离．

证明:

如图，

(1)在直线b上取一点B，过B点引直线a1∥a，

在直线a上取一点A，过A点引直线b1∥b，

∴a与b异面，

∴a1与b是相交直线，b1与a是相交直线，取a1与b确定的平面为平面β，取b1与a确定的平面为平面α．

(2)设EF是异面直线a和b的公垂线段．

∵EF⊥a，EF⊥b，又b∥b1，∴EF⊥b1，因此EF垂直α内两条相交直线a和b1，

∴ EF⊥α；同理，EF⊥β，

∴EF也是α和β的公垂线段，即α和β的距离等于两条异面直线a和b的距离．

评述：(1)“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”存在着内在的联系，三者间的互相转化是解题的常用方法。

(2)小题2说明，求两条异面直线之间的距离，可以转化为过这两条异面直线的两个平行平面间的距离，从而可以转化为点到平面的距离，易于计算。

例5：如图，异面直线AB、CD分别与两平行平面M和N交于A、B和C、D，线段AB、CD的中点分别为P、Q，求证：PQ∥平面M，PQ∥平面N。

AC解：连结AD、BD、AC，取AD中点E MFEQ∵P、Q分别是AB、CD的中点∴PE∥BD EQ∥AC, P

∴EQ∥平面M D∵A是平面M与平面ABD的一个公共点，故可设平面M∩平面BNABD=AF，又平面M∥平面N，平面ABD∩平面N=BD ∴AF∥BD 又PE∥BD ∴AF∥PE ∴PE∥平面M 故平面PEQ∥平面M，从而PQ∥平面M,同理可证PQ∥平面N 评述：要证“线面平行”，可证“线线平行”，但也可先证“面面平行”。本题就是采用了此法，分析问题要全面，不可局限于一点。

D1

C1O1例6：在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面B1CD1B1A1EDAOB第

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C

间的距离。

解：连结AC1 ， AC是AC1在平面ABCD内的射影，BD⊥AC由三垂线定理可得AC1⊥BD， 同理AC1⊥A1D， ∴AC1⊥平面A1BD，同理AC1⊥平面B1CD1，设AC1与平面A1BD交于E，与平面B1CD1交于F，设上下底面中心为O1、O，在矩形A1ACC1中，设O1C与AC1交于N，A1O与AC1交于M，则M、N分别为AC1与平面A1BD、 B1CD1的交点

∴MN即为所求距离 易证MN=AC1 而AC1=3a ∴MN=133a 3A1MO1NC1

ACO评述：①本题解题过程中，这种把几何体中的截面移出来使它成为平面图形，从而直观地使用平面几何中的结论来解题，使空间问题平面化的解题方法，值得重视并掌握，它在解立体几何题时经常用到．

②立体几何的距离和角度的计算问题，必须先推理说明清楚后再计算，在证明题和解答题中不能省略推理过程．这里要求两平行平面间的距离，首先应作出两平面的公垂线，本题利用三垂线定理找出线线垂直，从而得到线面垂直。

③本题关于正方体的结论：“题中两个截面互相平行且垂直于正方体的对角线AC1，并且把正方体对角线截成相等的三段．”可以在今后做填空、选择题时直接使用．

例7：已知点A、B∈平面α，C、D∈平面β，α∥β，AC＝13cm，BD=15cm，AC、BD在平面α上的射影之和是14cm，求AC、BD在平面α上的射影长，以及平面α、β的距离．

解

如图．由C、D分别向α引垂线，垂足分别是M、N，连结AM、BN，则AM、BN分别是AC和BD在α上的射影，设AM=x，则BN=14-x ∵α∥β

CM∥DN，∴CM＝DN

在Rt△BND中：

13-x=15-14＋28x-x,得x=5

∴AC在平面α上的射影长是5cm，BD在平面α上的射影长是9cm ∵CM⊥α

α∥β

∴CM⊥β，CM是α、β间的距离，α、β的距离是9cm 例8：如图，直线AC，DF被三个互相平行的平面α、β、r所截，已知AC和平面r所成角为60°，AB=4cm, BC=12cm, DF=10cm，求：

（1）

平面α与平面r的距离；（2）DE、EF的长

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22222DAEMPBFQNC

解：（1）过A作直线AN⊥α，分别交于α、β、r于A、M、N三点，连结BM、CN， ∵α、β、r互相平行，∴AN⊥β, AN⊥r ∴∠ACN即为AC与平面r所成角，在Rt△ANC中，AC=AB+BC=16，

∠ACN=60°，∴AN=16·sin60°=83cm ，即α与r间距离为83cm（2）由AN⊥β，AN⊥r得AN⊥MB，AN⊥NC，在平面ANC中, 可得MB∥NC ∴AMAB4AM1== ∴=，

MNBC12MN3 过点D作DQ⊥α分别交β、r于P、Q两点

， 则DN⊥β，DN⊥r， ∴DP=AM，PQ=MN ∴DP1=

PQ3DEDP1== ∴EF=3DE EFPQ3 在R t△DFQ中，EP∥FQ ∴ 又DE+EF=DF=10cm ， ∴DE=2.5cm , EF=7.5cm

例9：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：

(1)E，F，B，D四点共面； (2)平面AMN∥平面EFBD；(3)求平面AMN与平面EFBD之间的距离．

证明

：

如图，(1)连结B1D1．∵E，F是B1C1，C1D1的中点．

∵D1D

B1B．∴D1B1BD是矩形．∴D1B1∥DB．∴EF∥DB．

∴EF与DB确定一个共面．故E，F，D，B四点共面．

(2)∵M，N是A1B1，A1D1的中点．∴MN∥D1B1∥EF．

∴MN∥面EFDB．连结NE，则NE

A1B1 AB．∴NEBA是平行四边形．∴AN∥BE．

∴AN∥面BEDF．∵AN，MN都在面AMN内，且AN∩MN=N．∴面AMN∥面EFBD．

(3)解

如图．取BB1，CC1的中点Q，P，连结A1Q，A1P．

∵PQ∥BC，∴PQ⊥面AB1．又∵M为A1B1的中点，∴AM⊥A1Q．

由三垂线定理得，A1P⊥AM．又PC1⊥面A1C1，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，∴A1C1⊥MN．由三垂线定理得，A1P⊥MN．而AM∩MN=M，

∴A1P⊥面AMN．由(1)知面AMN⊥面EFDB，∴A1P⊥EFDB．

设A1P与这两平行平面交于O1、O2，如图，则O1O2的长为两平行平面的距离，在平行四边形AA2A3A4中，由平行四边形AA4A2A2的面积可知

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例10：线段AB与平面α平行，面α的斜线A1A，B1B与平面α所成角分别是30°，60°，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=a，A1B1=b(b＞a)．求：AB与面α的距离．

解

作AC⊥面α于点C，作BD⊥面α于点D．∵AB∥α，面α∩面ABCD=CD．∴AB∥CD且CD⊥CA．

∴AB⊥CA．∵AB⊥AA1．∵AB⊥面A1AC．同理

AB⊥面B1BD．∴面A1AC∥面B1BD．∴A1C∥B1D．

考虑到A1，B1在CD同侧或在CD异侧，所以分两种情形讨论：

(1)如图．A1，B1在CD同侧时．在α内作B1E⊥A1C于点E，则∠B1EA1=90°

又在Rt△A1B1E中，

(2)如图．当A1，B1在DC异侧时，在α内作A1E⊥B1D延长线于E．

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【每周一练】

一．

选择题：

1．下列命题中，正确的是 （ ）

（A）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行

（B）如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（C）如果一个平面内有两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行

（D）如果一个平面内的一个四边形两边分别和另一个平面内的一个四边形平行，那么这两个平面平行

2．（1）两个平行平面间的距离是这两个平行平面的公垂线

（2）和两条异面直线都垂直的直线叫异面直线的公垂线

（3）分别在互相平行的两个平面内的两条直线互相平行

（4）夹在两平行平面间的平行线段一定相等

以上命题正确的是 （ ）

（A）（1）和（4） （B）（2）、（3）、（4）

（C）（2）、（3） （D）（4）

3．平面α∥β，且夹在α、β间的线段AB、CD等长，则AB与CD的位置关系是（ ）

（Ａ）平行 （Ｂ）异面 （Ｃ）相交 （Ｄ）平行、相交或异面

４．下列四个命题中，不正确的是 （ ）

（A）垂直于同一直线的两个平面平行

（B）垂直于同一平面的两条直线平行

（C）平行于同一直线的两个平面平行

（D）平行于同一平面的两个平面平行

5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的关系是 （ ）

（A）平行 （B）相交 （C）至少有一个公共点 （D）平行或相交

6．a是平面α外一条直线，过a作平面β使β∥α，这样的平面β （ ）

（A）至多有一个 （B）至少有一个

（C）不存在 （D）有且只有一个

BACDE第

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F

二、填空题：

7．如图，AE⊥α于E，BF⊥α于F，lα，C、D∈α，AC⊥l，则当BD与l______时，平面AEC∥平面BFD。

8．两个平行平面的距离为10cm，夹在这两个平面间的线段AB长为20cm，则AB与这两个平面所成的角为___________。

9．已知α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，AS=8，BS=9，CD=34，则CS=________。

DA10．如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、r所截，若AC与α成30°角，AB=4，BC=12，DF=10，则平面β、r间的距离为EB_______,DE=________,EF=_______。

11．两平行平面α、β间距离为10，直线l和平面α成60°角，直线l交CFα、β于A、B两点，则|AB|等于_______。

12．如果两条平行线中的一条和平面α垂直，另一条和平面β垂直，那么这两个平面的位置关系是___________。

三．解答题

13．已知：线段AB、CD异面，CD平面α，AB∥α，M、N分别是线段AC和BD的中点，求证：MN∥平面α。

14．证明：如果夹在两个平面内的三条线段（不都在同一个平面内）平行且相等，那么这两个平面平行。

15．两条异面直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截，求证：ABDE

BCEF

DA

EB

FC

16．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1，A1D1的中点，E、F分别为棱B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB。

D1FC1N

B1EA1

M

CD

AB

【每周一练答案】

一．

选择题

题号

1 2 3 4 5 6 第

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答案

C 二．填空题

D D C D A 7、垂直 8、30° 9、16或272 10、6，2.5，7.5 11、203 12、平行

3三．解答题

B13．连结AD，取AD中点P，连MP、NP，

AN 先证MP∥α，NP∥α，则平面MNP∥平面α

MCP ∵MN平面MNP D ∴MN∥平面α

14．已知A、B、C在α内，A1B1C1在β内，A、B、C不共线

AA1∥BB1∥CC1，求证：α∥β

证明：AA1∥BB1得AA1B1B是平行四边形

∴AB∥A1B1 从而AB∥β，

同理BC∥β，从而α∥β

15．连结AF，设AF交β于O，平面ACF分别交β、r于BO、CF ∴BO∥CF ∴CABA1C1B1ABAO 同理平面AFD交α、β分别于AD、OE BCOFAODEABDE∴AD∥OE ∴ ∴

OFEFBCEF16．连结A1C1AC，设A1C1分别交MN、EF于

P、Q，AC交BD于O在矩形A1ACC1易

中证AP∥OQ从而AP∥平面EFD 又MN∥B1D1，

EF∥B1D1得EF∥MN ∴MN∥平面EFDB ∴平面AMN∥平面EFDB

D1A1NPMDABCAOCFQB1EC1A1PO1C1第

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