阅读与思考 笛卡儿与解析几何PPT专用课堂实录内容

笛卡尔与解析几何

武威二中

姚光辉

【教学目标】

1、知识与技能

（1）了解笛卡尔生平；

（2）了解笛卡尔在数形结合中的贡献；

（3）培养学生学习数学的兴趣和积极性；

2、情感与价值

了解数学在生活中的作用，进而增强了学习的兴趣，培养学生学习数学家的伟大精神，为国家，为人类而努力学习。

【教学重难点】

教学重点：笛卡尔的数形结合思想。

教学难点：数形结合的理解与运用。

【教学过程】

一．引入新课

回顾

1 直线方程的5种形式

2 两直线的交点

3 两点间的距离公式

4 点到直线的距离公式

5 两平行线间的距离公式

二．

新课讲授

（一） 1 数轴与实数

2 平面直角坐标系与平面内的点

（二）笛卡尔的生平

第一阶段

笛卡尔是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家. 1596年5月31日他出生在法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病，8岁入拉弗来什公学读书.教师考虑到他的特殊情况，允许他每天早上晚起多睡.但笛卡尔利用这段时间进行晨读，并养成善于思考的习惯.传说笛卡尔是躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位- 1 -

置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念

笛卡尔博览群书，曾自述：“别人学的，我都学了.我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种科学的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完.”他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，随之读完开头的部分就细细品味，并力求得出结论. 

轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立

据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，但他还在反复思考

一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不

能把几何图形和代数方程结合起来呢？他苦苦思索，拼命琢磨，

通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他

看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会儿，蜘蛛又顺

这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路

豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点，屋子里相邻的两面墙

与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来

的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这

三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺

序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数

（X，Y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一

组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

第二阶段

1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师.1618年参军，部队到荷兰南部的小城布勒达时，一次巧遇街头小报上在征解数学难题，笛卡尔成功的应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定他终身研究数学的决心.1619年11月部队到达多瑙河上的一个小镇时，他不断思考——怎样把代数应用到几何中去.他曾说：“我想去寻求一种新的，包含两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法.”他在致力研究数学中一门完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何.

第三阶段

1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行.1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究与写作，这时他研究哥白尼学说，1634年写成《论世界》一书.1637年出版了《新光学》、《气象学》和《几何学》. - 2 -

笛卡尔的《几何学》，使用的是坐标法.这种方法是在平面上建立点的坐标（x，x），用坐标（x, y）表示点的位置，于是一条曲线就可以用关于变数x和y的代数方程来表示.这样，笛卡尔把一个几何问题通过坐标归结为代数方程式，用代数方法研究方程的性质，然后再翻译成几何语言，得出图形的几何性质.笛卡尔用这种方法研究了含有两个未知数的二次方程，并得出一般二次方程分别表示椭圆、双曲线、抛物线等曲线的结论.

第四阶段

1649年笛卡儿受瑞典女王之邀来到斯德哥尔摩，但不幸在这片“熊、冰雪与岩石的土地”上得了肺炎，并在1650年2月去世。1663年他的著作在罗马和巴黎被列入禁书之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是为了对当时在法国流行起来的牛顿世界体系提供一个替代的东西

（三）心形线的故事

（四）笛卡尔与几何学

当时，代数还是一门新兴科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。 解析几何”有名

“坐标几何’’,是几何学的一个分支. 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题.它的基本方法是坐标法.即 通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方法来表示和研究曲线. 它包括”平面解析几何”

和”空间解析几何”两部分. 前一部分除研究直线的有关性质外.主要研究圆锥曲线(椭圆,抛物线,双曲线)的有关性质.后一部分除研究平面,直线的有关性质外,主要研究二次曲面(椭球面,抛物面,双曲面)的有关性质,

（五）解析几何学意义

解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自- 3 -

古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”

与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域

三 小结

通过本节课的学习了使学生了解笛卡尔生平；知道笛卡尔在数形结合中的贡献，培养学生学习数学的兴趣和积极性；进一步了解数学在生活中的作用，进而增强了学习的兴趣，培养学生学习数学家的伟大精神，为国家，为人类而努力学习。

【板书设计】

1 知识回顾

2 笛卡尔的生平 3 心形线的故事 4 笛卡尔与几何学

5 解析几何学意义 - 4 -