第四章 圆与方程（通用）教案推荐

圆与圆的位置关系

教 学 设 计

学 校: 五华县高级中学

教 师: 周

镜

宏

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圆与圆的位置关系

授课教师:张建强(广东深圳中学) 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学必修2 第四章4.2.2《圆与圆的位置关系》是第1课时．

教学内容分析

1、《圆》的地位与作用

《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。

第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。

2、本节课的地位与作用

“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：

（1）完善圆的知识体系；

（2）升华数形结合思想；

（3）为后续教学做准备。

教学目标设置

1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系 2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以

实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。 其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围

学生学情分析

此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。

在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。

教学策略分析

为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。

1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；

2、探究阶段。这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。

3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。我将它们穿插在问题解决的过程中

。

4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进

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知识体系的再生长。

“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。这样，可以使得不同水平的学生均能有所收获。

教学流程框图

本节课希望以清晰的脉络，让学生体会知识产生发展的过程，逐步培养适合新知识的学习方式。教学的主要过程设计如下：

（一）预习候课

（二）概念复习

复习引入阶段

（三）明确任务

问题解决阶段

第一部分：怎么用

（一）怎样判断两圆关系？

策略一：d-r比较法

（二）怎样判断两圆关系？

策略二：联立方程法

（三）强化练习

第二部分：何时用

（四）两种策略比较

（五）核心思想深化

（六）逆向练习

（一）为什么再次学习“圆与圆的位置关系“？

（二）学完了这节课之后，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题？

（三）布置作业

问题生成阶段

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教学过程设计

第一阶段

——复习引入阶段

（计划用时4分钟）

分为四个步骤：（一）侯课阶段、（二）概念复习、（三）明确任务

预计时间

0分钟

教学内容

预习候课

教师活动

学生活动

教学评价

操作：展示本节课题和课前预习问题：

1、圆与圆的位置关系有哪几种情况？你还记得初中课本中是如何定义的吗？

2、通过学习课本中例题3，归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系的步骤。

3、回答例3旁注中的问题“两圆方程作差之后的直线有什么特征？为什么？”

1、预知教学内容，逐渐进入教学状态。

2、准备与本节课相关的教材及其它工具。

我们经常见到当老师开始上课后，学生才匆匆忙忙寻找相关书籍或作业的情景。所以，在侯课阶段，屏幕上投影一些暗示教学内容的材料，会有很好的效果。

3分钟

1、导言：今天我们学习的内容是圆与圆的位置关系。那么，

圆与圆的位置关系一共有多少种呢？

（学生齐答：五种）

概在自学作业中，同学们已经归纳了位置关系，我选择两念复个同学的作业来展示。

习

2、操作：展示两名学生对自学问题1（圆与圆的位置关系有哪几种情况？你还记得初中课本中是如何定义的吗？）的回答。

3、点评：第一名同学不仅给出了位置关系分类，而且画出了示意图。但是，在名称中有一处错误，同学们看出来了吗？

此外，第一名同学给出的定义实际上是判定方法，而第二名同学的定义才与教材相符。

4、操作：展示初中教材内容以及思维导图，教师进行讲解。

1、导言：今天，我们再一次来学习圆于圆的位置关系，我

想重点说明三个问题：第一个，怎样判断位置关系；第二个，1明不同判断方法的本质与适用范围；第三个，我们为什么要再分确次学习两个圆的位置关系？

钟

任2、操作：投影本节课的教学任务。

务

1、展示预习作业，回忆两圆位置关系的定义

2、发现屏幕中投影的作业中存在的问题，完善“相离包含外离和内含”这一认识。

通过展示作业发现学生中存在的问题，使得讲解更有针对性；利用初中的知识创造先行组织者，也为课堂后期的对比打下伏笔。

感知本节课由于本节课的的教学内容

内容学生初中学过，又经过了课前预习，学生很可能自我感觉良好，产生倦怠情绪。这时，明确告诉学生这节课要讲什么，他会意识到，原来还有这么多问题我

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们没有想到啊。

第二阶段——问题解决阶段

（计划用时34分钟）

第一部分：怎么用

分为三个步骤：（一）怎样判断两圆关系？策略一：d-r比较法（二）怎样判断两圆关系？策略二：联立方程法（三）强化练习

预计时间

8分钟

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

1、导言：首先，我们来探索怎样判断两个圆的位置关系。

教材中仅仅有一个例题，讲了两种方法。同学们在自学作怎业中也进行了归纳。这两种判断方法各是怎样的呢？

样2、操作：展现例题

判22（教材例3）已知圆C1:xy2x8y80，圆断两C2:x2y24x4y20。试判断圆C1和圆C2的位置关系。

圆关3、操作：展现两名学生对自学问题2（通过学习课本中系例题3，归纳利用两种方法判断圆与圆的位置关系？

的步骤。）的回答。

策

略

一

4、点评：我能感受到同学们基本掌握了判断两圆位置关系的方法，但是，如果更加条理分明一些是不是更好呢？

5、操作：展示“d-r比较法”的解答步骤，并实际板演解题过程。在此过程中，特别要讲解如何比较35与510的大小关系，否则，会有一些学生明明知道如何判断，却不能得出最后结果。

方法1：平方比较

方法2：中间值比较

（注意到357.5而5108）

5、归纳：与学生共同归纳出利用“d-r比较法”的解题流程。

6、操作：利用《几何画板》直观演示不同的关系，列表展与教师共同归纳利用“d-r比较法”的解题流程

第一步：化成标准形式

第二步：计算圆心距离d以及r1r2,r1r2

第三步:比较d与r1r2,r1r2的关系

通过“展现学生解答——展现教师解答——共同总结归纳——动态演示”等环节，帮助学生牢固的掌握知识技能。归纳简洁的判断流程，就可以加强教学效果，又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。

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示其判断条件。

8分钟

1、导言：我们又学了一种方法，称为”联立方程法“。怎

么操做呢？

2、操作：板演利用“联立方程法”的解题过程，并指导学

生重新归纳解答步骤。

3、点评：教师总结解答步骤。第一步，联立方程。这时，

我们对比“d-r比较法”。我们为了方程好解，是不是一般怎方程更好一些呀？而曾经的时候，为了得到圆心和半径，

样我们化成标准式。第二步，消元变成关于x或y的方程。判怎么消元呢？要看具体情况来做了。变成了一个方程之后，断第三步，我们开始判断根的个数。有时可以解出来，解不两出来时可以用判别式来判断

圆3、导言：现在，我们想一个深层次的问题，联立方程法的关原理是什么？它本来是一个几何问题，结果变成了一个方系程的问题，这种思想叫什么？

？

（学生齐答：数形结合！）

策要研究的是两个圆的交点，而我们却把它变成了两个方程略的解，交点的个数就等价于解的个数。这个过程，就是把二

几何问题代数化这是整个解析几何的基础

4、板书：圆的交点方程组的解

3分钟

1、导言：我们把例题的两种解法都学完了之后，需要大家

去训练，学会这些方法。下面看练习1，要求大家用两种方强法完成这道目。

化2、操作：投影练习1，指导学生用两种方法解决。

练已知圆，圆C1:x2y22x3y10习

学生自主完成强化练习。

这两种方法的讲解都是用传统的“演示——归纳——练习”模式，保证所有学生掌握两种判断方法。归纳简洁的判断流程，就可以加强教学效果，又可以为不久之后要学习的“算法”埋下伏笔。

代数化独立归纳利用“联立方程法”的解题流程。

学生可能的归纳如下：

第一步：联立方程；

第二步：消元解方程。

在上一步共同归纳的基础上，由学生独立完成解题流程的归纳，可以锻炼学生的总结分析能力。

C2:x2y24x3y20，试判断圆C1和圆C2的位置关系。

2、操作：投影展示两名学生的解答过程。

3、点评：指出学生解答的优点与不足。

第二部分：何时用

分为三个步骤：（一）两种策略比较（二）核心思想深化（三）逆向练习

预计时间

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

1、导言：这两种方法学完了，在操作实践的基础上，我想问大家一个问题。这两种方法，哪个更好一些呢？

1、自主完成两个练习。

“一题多解”是锻炼学生发散思维- 6 -

6分钟

两（学生议论纷纷）

种好，争论暂时停一下吧。到底哪个更好呢?我想如果有策更多的经验更好一些

略所以，咱们再来完成两个题目。当你把这两道题做完之对后，先独立思考一下，三分钟之后，同学们可以互相交流比

一下自己的想法。

2、操作：展示两个练习。

练习2、已知曲线C2:x2y22x2y0与曲线2、小组交流对两种策略的比较。

3、小组代表发言，阐述观点

C2:x2y24x6y10。试判断有几个交点。

练习3、已知曲线C2:x22x2y0与曲线C2:x24x6y10。试判断有几个交点

3、操作：教师结合学生发言，展示上述两题的示意图与解答。

的一种有效手段，但是，之后的“多解归一”更重要。“归一”常有两种方式，一是比较不同方法的特征，从中选择一种最佳的；二是从中寻找这些方法的共同本质，加深学生的认识。

4、归纳：利用表格形式，展示两种策略的适用范围及判断方法。

5、点评：判断什么好什么坏是辩证的，没有一个万能的方法解决所有的问题，我们要具体问题具体分析。针对这节课来讲，我们判断的是圆与圆的位置关系，还是用第一种方法，“d-r比较法”更好一些。

之所以“d-r比较法”看起来更好一些，是由于圆自身的完全对称性；而“联立方程法”在判断其他曲线的位置关系时更有普遍性。

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6分钟

1、导言：利用“联立方程法”，还有一个附加的产品。我

们看自学作业中的问题3：“两圆方程作差之后的直线有什核么特征？为什么？”

心2、操作：展示两名同学的回答。

思3、点评：回答的关键是“符合两圆方程的点的坐标必然符想合直线方程”

。两圆交点代数化后是方程的解，如果这个深方程的解符合直线方程，则说明直线方程过两点。这节课化

一直在进行代数问题和几何问题的转换。这不就是数形结

合的思想吗？

4、操作：证明两圆方程作差之后的直线方程就是相交弦所在直线方程

5、板书：

完善课前预习问题3的回答，体会数与形相互转化的过程。

这一部分既解决了教材中提出的问题，又体现了“多解归一”的第二种方式：从中寻找这些方法的共同本质。

圆的交点代数化方程组的解符合

直线方程几何化直线过两交点

3分钟

1、导言：经过比较我们已经知道，用“d-r比较法”比用

“联立方程法”对圆来讲更适合一些。所以，既然我们选逆它就要用好它。第二组练习都是已知了它们的关系或者说向能判断出关系，反过来求参数的取值范围

训

练

2、操作：要求学生完成两个巩固性的逆向训练：

练习4：集合A{(x,y)|x2y24}，1、自主完成练习

2、回答结果和思维过程

学生通过这两个练习，在已经学会了判断两圆关系的基础上，从逆向掌握“已知两圆关系，求参数“的问题。同时，强化了严密的思维习惯。

B{(x,y)|(x3)2(y4)2r2}，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_____. 练习5：已知圆(xa)2y21与x2y225没有公共点，求正数a的取值范围。

3、操作：教师点名选择两名同学回答

，要求说出结果和简要思维过程。

注意，每道题都是两种情况。练习4答案，r3或7；练习5答案，a4或a6。

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第三阶段——问题生成阶段

（计划用时7分钟）

分为三个步骤：（一）为什么再次学习“圆与圆的位置关系“？（二）学完了这节课之后，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问题？（三）布置作业

预计时间

3分钟

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

1、导言：初中我们已经学过了圆与圆的位置关系，那么，思考并表达个

高中为什么要在学一次呢？请结合本节课乃至本章的学人观点。

习，谈谈你的观点。

2、操作：引导学生举手回答问题。

再3、点评：初中学习两圆位置关系，注重的是直观特征；高次中再次学习，是在引入坐标系的基础上，侧重于量的的计学算。从这个意义上说，我们今天所学的d-r比较法与联立习方程的方法本质上是同一种方法——坐标法。

的 利用坐标法研究几何问题，不仅仅是一种看起来“高大原上”的手段，而且，它确实能够起到细致入微的作用。这因

再一次证明了华罗庚先生的名言：“数缺形时少直观，形少

数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。“

这部分内容可以起到很好的分层教学的效果。确实有一些学生，不满足于仅仅会做题，而希望清楚地知道知识的来龙去脉；教师所能做的，就是通过自己的引领示范，让这样的学生不断增多。同时，这部分起到了小结的作用，但比传统的小结更能吸引学生。

此外，“日全食”的例子再次出现，具有前后呼应的效果。

3分钟

1、导言：这节课我们学习了利用“d-r比较法”和“联

立方程法“判断两个圆的位置关系的方法。接下来的时间提交给同学们，你还能提出哪些与两圆位置关系相关的新问出题？

新2、操作：提供给学生样例 问例如:相交弦的长度怎样求？

题

22例题：已知圆C1:xy2x8y80，圆C2:x2y24x4y20。求两圆相交所得弦的长度。

3、预案：

(1)对于学生提出的“怎样求相离两圆的最近距离”这类基础性的问题以及“怎样求两个圆的公切线方程”这类综合性的问题，都可作为研究型的作业，要求学生合作完成。

积极提出与两让学生提出问圆位置关系相题，可以锻炼他们关的新问题。

的发散思维和类比思维能力，也对培养学生的研究精神有益。同时，我想潜移默化的告诉学生：任何一节课都不是知识的结束，而是一个新的开始。

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(2)可能有同学提出“若两个不相交的圆的方程相减，所得是什么？”这是非常漂亮的问题，但是解决方法已经超出了《课程标准》的要求，教师应建议有兴趣的同学在课下利用网络搜索“圆的根轴”。同时，可以对学生进行态度与价值观引导：“提出问题比解决问题更重要，质疑与创新才是一个民族不断进步的核心动力！”

(3)如果学生提出问题较少，可以让学生短暂展示教师整理得的知识体系。

1布独立作业：习题4.2 A组第4、9、10、11题，B组第5题

分置合作作业：整理与两圆位置关系相关的题目类型，并编写钟

作例题，探索解决策略。

业

板书设计

标题

圆的交点代数化方程组的解符合直线方程几何化直线过两交点

投影区

解答区1

解答区2

演算区

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