小结教案和学案内容

【知识梳理】

专题一

变化率与导数、导数的计算

1．平均变化率及瞬时变化率

Δy(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：＝①_____________. Δx(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim

Δx→0专题四

函数的最值与导数

1.在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__________为函数在[a，b]上的最小值，

为函数在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则

为函数在[a，b] 上的最大值，

为函数在[a，b]上的最小值.

3.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与端点处的函数值

，

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

Δy＝②________. Δx2．导数的概念

f(x0＋Δx)－f（x0）(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______，记作y|xx或f′(x0)，即f′(x0)＝lim

. Δx0Δx→0(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④__________________. 3．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________. 4．基本初等函数的导数公式

(1)C′＝⑦______(C为常数)．

(2)(x)′＝⑧__________(n∈Q)．

(3)(sinx)′＝⑨______，(cosx)′＝⑩______. (4)(ex)′＝⑪______，(ax)′＝⑫______.

(5)(lnx)′＝⑬______，(logax)′＝⑭______. 5．导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮__________.

(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯______________________. f(x)f′(x)g(x)－f(x) g′(x)(3)(g(x)≠0) .

g(x)′＝[g(x)]2n*专题六

导数的综合应用

1．函数的导数与单调性的关系2．函数的极值3．函数的最值与导数

4.定积分

(1)定积分的几何意义：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分baf(x)d(x)表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这就是定积分(2)定积分的性质

①baf(x)d(x)的几何意义．

bakf(x)dx＝

；②af1(x)f2(x)dx＝ b；③baf(x)d(x)＝

．

(3)

微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么

．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

baf(x)d(x)＝

专题二

导数的单调性与导数

1、函数的导数与单调性的关系

2、函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内

；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内

；(3)若f′(x)＝

0，则f(x)在这个区间内是

. 专题三

函数的极值与导数

1.判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：

一般地，当f

′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f

′(x)＞0，右侧f

′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极小值.

2.求可导函数极值的步骤：

(1)求f

′(x)；(2)求方程

的根；(3)检查f

′(x)在上述方程根的左右对应导函数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得

.

1

类型五

利用导数证明不等式

【典例5 】

已知x>1，证明不等式x－1>ln x.

类型六、构造函数求解

【典例6】

定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)

f(x)>2ex的解集为

A.(－∞，0)

B.(－∞，2)

C.(0，＋∞)

D.(2，＋∞)

2

综合训练1 一、选择题

1.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(

) A.－4

32

三、解答题

12．已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax.(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值；(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x2＝0在(1，＋∞)上的根的个数．

所示，

14．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

B.－2

C.4

D.2 2．函数y＝x＋x－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(

) 22A．27

B．2

C．－1

D．－4 13．已知曲线y1＝2－x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为(

) 1A．－2

B．2

C.2

D．1

4．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图则下列叙述正确的是(

) A.f(b)＞f(c)＞f(d)

B.f(b)＞f(a)＞f(c) C.f(c)＞f(b)＞f(a)

D.f(c)＞f(b)＞f(d)

5．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(

) A．2

B．1

C．－1

D．－2 kk6．若函数h(x)＝2x－x＋3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(

) A．[－2，＋∞)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，－2]

D．(－∞，2) 7.若不等式3

15．已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为x2y30

x1xlnx．

x12xln x≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为(

) x（1）求a，b的值；

（2）证明：当x＞0，且x1时，f(x)＞

3 A.(－∞，0)

B.(－∞，4]

C.(0，＋∞)

D.[4，＋∞)

8．已知函数f(x)＝e(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为(

) e2π(1－e2012π)eπ(1－e2012π)eπ(1－e1006π)eπ(1－e1006π)A．

B．

C．

D．

e2π－11－e2π1－e2π1－eπ二、填空题

9．函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的单调递增区间是________．

x22,x010．函数fx的零点个数是

2x6lnx,x0

综合训练2

31．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为(

) 2A．ln22

B．－ln22

C．ln2

D．－ln2 2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(

) A．(－∞，－2]

B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)

3．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，0)

B.0，12

C．(0,1)

D．(0，＋∞)

4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(

A．427，0

B．0，427

C．－427，0

D．0，－427

5．设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，

1]，则b的最大值是（

）

．

6．下列不等式对任意的

恒成立的是（

）

A．sinx>-x+1

B．x-x2>0

C．x>ln(1+x)

D．ex>ex

7．若曲线C21:yax(a0)与曲线Cx2:ye存在公共切线，则a的取值范围为（

）e2e2e28,

B．0,8

C．e2A．4,

D．0,4

)

二、填空题

11．若函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________________．

12．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是

. sin x，x≤π13（理科）(1)已知函数f(x)＝2，则－2π10f(x)dx＝________. πx＋2，2＜x

(2)图中阴影部分的面积等于________．

三、解答题

13．已知函数f(x)ax21(a0),g(x)x3bx.当a24b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间(,1]上的最大值.

15.

已知函数

有两个极值点，且

．

（1）求实数

的取值范围，并讨论

的单调性；

（2）证明:

.

4