习题1.2教学设计内容推荐

空间点、直线、平面之间的位置关系

最新考纲

1.理解空间直线、平面位置关系的定义；

2.了解可以作为推理依据的公理和定理；

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

知

识

梳

理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系

平行关系

相交关系

独有关系

图形

语言

符号

语言

图形

语言

符号

语言

图形

语言

符号

语言

a，b是异面直线

a⊂α

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

a∥b

a∥α

α∥β

直线与直线

直线与平面

平面与平面

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). π(2)范围：0，2. 诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(

) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(

) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(

) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(

) 解析

(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误. 答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

) A.30°

C.60°

B.45°

D.90°

解析

连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 答案

C 3.在下列命题中，不是公理的是(

) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析

选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的. 答案

A 4.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α

，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件. 答案

A 5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________. 答案

b与α相交或b∥α或b⊂α

考点一

平面的基本性质及应用

【例1】

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点. 证明

(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.

∴CE，D1F，DA三线共点. 规律方法

(1)证明线共面或点共面的常用方法

①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面. ②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. (2)证明点共线问题的常用方法

①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. ②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 考点二

判断空间两直线的位置关系

【例2】

(1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

) A.l与l1，l2都不相交

B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交

D.l至少与l1，l2中的一条相交

解析

(1)法一

由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交. 若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二

如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.

答案

(1)D

规律方法

(1)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，

经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. ②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【训练2】

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

) A.MN与CC1垂直

B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行

D.MN与A1B1平行

(2)(2017·武汉调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(

) A.①④

B.②③

C.③④

D.①②

解析

(1)如图，连接C1D，

在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；

∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD，

∴MN⊥CC1，故A正确；

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确；

∵A1B1与BD异面，MN∥BD，

∴MN与A1B1不可能平行，故选项D错误. (2)对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题.②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题.命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题.由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题. 答案

(1)D

(2)A 考点三

异面直线所成的角

【例3】

(1)(2017·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所

成的角为________.

解析

(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，

在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角. 3设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝2，故∠AB1E＝60°. 规律方法

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤

①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角. ③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

[思想方法] 1.主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想. [易错防范] 1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上

两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(

) A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析

直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A. 答案

A 2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(

) A.相交或平行

C.平行或异面

B.相交或异面

D.相交、平行或异面

解析

依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D. 答案

D 3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是(

) A.①

B.①④

C.②③

D.③④

解析

显然命题①正确.

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错. 命题③中，两个平面重合或相交，③错. 三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确. 答案

B 4.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(

) A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解析

若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C. 答案

C 5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(

) 4A.5

3B.5

2

C.3

5D.7

解析

连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角. 设正方体棱长为a，

55则D1D＝a，DF＝2a，D1F＝2a，

52522a＋a－a223∴cos∠D1FD＝＝5. 552·2a·2a答案

B 二、填空题

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________(填序号). 解析

A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°. 答案

③④

7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

解析

取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交. 答案

4 8.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________. 解析

如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD. ∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

11∴MN綉2B1C1.又BD綉2B1C1，

∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，

∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角). 设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5，

在△ADN中，由余弦定理得

ND2＋AN2－AD230cos∠AND＝＝2ND·AN10. 30故异面直线BM与AN所成角的余弦值为10. 30答案

10

三、解答题

9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 解

(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线. (2)直线D1B和CC1是异面直线. 理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，

即D1B和CC1是异面直线. 10.(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点. π已知∠BAC＝2，

AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值. 解

(1)S1△ABC＝2×2×23＝23，

三棱锥P－ABC的体积为

V＝1·PA＝143S△ABC3×23×2＝33. (2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，

22＋22cos∠ADE＝－232×2×2＝4. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.