3.1.2 导数的概念教案评析

§3.1.2导数的概念

【学习目标】

1.理解瞬时变化率及导数的概念．

2．掌握瞬时变化率的推导．

3．会求函数在某一点处的导数．

4．能用导数定义求简单函数的导数．

【重点难点】

1.会求函数在某一点处的导数．

2.能用导数定义求简单函数的导数．

【学情分析】

1.

学习时，应先通过具体实例，理解函数的平均变化率这一概念，由实例提炼出导数的概念

；

2.

要认清导数实质是增量的变换。

【教学过程】

一、回顾旧知：

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子__________________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________，于是，平均变化率可表示为________．

设计意图：导数概念的形成，导数内涵的理解

在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

二、进入新课

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

[问题1]

我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即vlims=___________________ x0tht4.9t26.5t10[来源:Zxxk.Com]

[问题2]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: x0limf(x0x)f(x0)flim

x0xx

我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f'(x0)或________，即________________________ 注意: ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'x=limf(x0)f(x0x)y；

limx0(x)x0x f'x=limf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)y；f'x=lim；

limx0xx0(x)xx0xxx0xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0f(x)f(x0)

xx0例1．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，f(x)2x7x15(0x，计算第8)并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

总结：求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[来源:学科网ZXXK]

y

f(x0x)f(x0)(2)算比值;xx （即___变化率）

y（在.x0时）xx0x设计意图:使学生进一步理解导数可以表示任何瞬时变化率.

(3)求y练习1:(教材A组第4题)物体转动的角度与时间的平方成正比。第一圈用时0.8s，求第3.2s的瞬时角速度。

设计意图:使学生更好地理解导数对于速度的意义. 五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．导数的概念以及导数的求解步骤；

3.本节思想方法：逼近。

六．布置作业