小结教学实录

《由三视图还原几何体的几种方法》详案

数学教研组

孟元

一、创设情境，复习引入

同学们知道吗，三视图在生活中应用广泛，设计领域也比较多.比如：模具设计、室内设计、建筑设计等等.那么通过三视图，建造师是如何它们转化成现实实物的呢？这需要我们先学习本节课的基础知识.

师：前面我们已学画几何体的三视图；首先，我们来复习一下三视图：三视图是由正视图、侧视图、俯视图构成.它是通过从三个方向对物体作正投影得到的，而我们画三视图的原则是：“长对正、高平齐、宽相等”.那么反过来，由三视图还原几何体有哪些方法呢？请同学们看一下例1. 二、新课讲授

Ⅰ、感性认识之直观想象

2例1.如图是某几何体的三视图中，其中俯视图是正三角形，根据图中数据求其体积. 正视图3侧视图师：它是什么几何体？体积是多少？

生：正三棱柱，由侧视图，容易知道底面正三角形的高是3，因此，体积例1 V123223. 2俯视图师：你是怎么判断的它是一个柱体？

生：三视图中有两图是矩形，直观想象它可能是柱体，再看俯视图. 师：通过例1的学习我们得知，可以通过感性认识就能直观想象还原几何体.那么这个方法是否可以解决所有的三视图还原几何体直观图问题呢？来看下面一个例题：

例2、如图是某几何体的三视图，其中三个图都是直角边为1的等腰直角三角形，求该几何体的体积. 师：它是什么几何体？体积是多少？

生：我直观想象，三视图中有两图是三角形，它应该是椎体.由底面是三角形，它应该是三棱锥.故V112111. 326例2 师：大家能还原它的直观图吗？

Ⅱ、探究认知

趣味题：图（1）-（2）分别是由由棱长为1的正方体堆成的几何体的三视图，则该几何体的体积分别为多少？

正视图

侧视图

侧视图

正视图

（1）

俯视图

（2）

1 俯视图

师：你搭建的顺序是？

生：从正视图开始，借助看侧视图和俯视图来还原的，总共有7块. 生：万丈高楼拔地起，从俯视图开始，借助看正视图和俯视图来还原的，总共有7块. 师：我们能否把特殊情况推广到一般情况. 学生活动：通过思考三视图的形成过程：三视图是通过作正投影将空间图形投影成平面图形.其中，正投影把某些垂直于底面的“平面”投影成线，某些垂直于底面的“线”投影成点，而还原几何体刚好是它的逆向过程.再结合学生们实际操作积木还原该几何体，让学生发现并回答由三视图还原几何体可以通过观察正视图和侧视图，从俯视图提升正方体来，还原几何体. 通过特殊实例，我们能将方法推广到更一般的情况吗？

Ⅲ、方法总结：

通过特殊到一般的思想，总结由三视图还原几何体的方法：理性认识之提点法

提点法是从三视图的俯视图出发，通过观察正视图和侧视图竖直提升某些点的办法，来还原几何体的一种方法. 一.提点法实际应用--解决问题

例2、如图是某几何体的三视图，其中三个图都是直角边为1的等腰直角三角形，求该几何体的体积. 师：和之前有疑问的学生一起，从俯视图出发，通过使用提点法结合斜二测画法还原该几何体. 例2 解：由提点法，还原几何体如上右图，再根据三视图中数据，易得V1111Sh121. 3326例2变式、下面是某几何体的三视图，其中三个图都是直角边为1的等腰直角三角形，求该几何体的表面积. 学生活动：学生从俯视图出发，通过提点法的思想，自己动手，使用尺规画图，还原几何体. 例2师：点拨可能出现斜二测画直观图的角度和虚实问题. 解：由提点法还原几何体，如右上图，再根据图中数据，易得几何体的表面积为正视图侧视图俯视图13S312242323. 2师：讨论例2、例2变式两个题一定需要还原几何体吗？通过比较分析，例2变式由于是求表面积，那么一定要还原几何体.而例2是椎体，那么只需要求得几何体的底面积和高即可.而通过学生讨论，例2变式还可以用割补的办法.因此，在求体积时，有时候可以不用还原几何体. 师：提点法是万能的吗？承上启下，引出下一种方法：

二.割补法

例3、如图，如图是某个几何体的三视图，三个图中的正方形边长都为2，2根据数据，求该几何体的体积. 2师：能用提点法吗？用提点法还原它是什么几何体？

正视图侧视图生：正方体？

师：但正方体三视图是三个正方形，没有对角线.说明它不是正方体.那2么实线在三视图中代表什么？

例3 生：看得见的棱.

2 俯视图

学生活动：通过切割，得到了几何体. 师：它规则的几何体吗，棱柱？棱锥？切掉的规则吗？不规则的几何体我们没有求体积的公式，那么我们怎么办？割补法. 解：容易知道，该几何体是棱长为2的正方体切割掉了一个角，即侧棱长相互垂直且棱长为2正三棱锥剩下的部分.因此它的体积1120V2323. 323例3变1：如图，如图是某个几何体的三视图，三个图中的正方形边长都为2，根据数据，求该几何体的体积. 解：类比例6，容易知道该几何体是在例6的几何体的基础上，继续切割了一个侧棱长相互垂直且棱长为2的正三棱锥，因此V22三、如何选择使用前面三种方法--方法应用

例4、如图是某几何体的三视图，求几何体的表面积和体积. 学生活动：分组思考，各自得出结论. 师：方法提示，

法1：采用提点法，还原出来的几何体是一个柱体如图（3）； 法2：割补法：补成一个长方体；

法3：交换三视图位置，还原出来的几何体是一个柱体如图（5）.

（（（4）

（3）

（5）

解：采用第二种方法容易得到该几何体的体积1例3变

3113162. 323正视图侧视图22俯视图例5 V1224.1S2212(125)

2例4变：已知某几何体的三视图如图所示，三个图的三角形都是

直角边为1的等腰直角三角形，则求几何体的体积. 学生活动：由题可以采取提点法，先还原成一个三棱锥；然后再用割补法. 解：该几何体的体积V111211123212

（四）、课堂小结

1、感性认识--直观想象（三视图对应关系）

2、理性认识--提点法

3、割补法

4、最后，由于空间想象能力是我们数学核心素养的重要部分，因此，我们最终还是要回归直观的想象训练，不断锻炼自己的空间想象能力. （五）、课后作业 步步高分层训练

4三、兴趣拓展

课后思考题

北京改编】如图是某几何体的三视图，其中侧视图和俯视321、【衔接高考-12图都是直角三角形，根据图中数据求该几何体的体积. 例3 4解：由提点法还原几何体，如图，再根据图中数据，易得几何体的表面正视图侧视图1140积为V(45)4. 323

3 俯视图

2、如图是某几何体的三视图，其中三个图中的圆半径都是1，求该几何体的体积和表面积. 解：该几何体的体积为V74713,表面积为83673S413212584

正视图侧视图课后1 俯视图

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