4.3.2 空间两点间的距离公式国家获奖教案

4.3.2空间两点间的距离公式

东山一中

张文亮

教学分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.

（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下空间两点间的距离公式

推导一般情况下的空间两点间的距离公式

3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。（三）教学设计教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

引入：如图，正方体ABCD

–

A′B′C′D′，棱长为1，BQ=2QD,A’P=PD,求PQ的长。（用我们已经学过的知识解决问题）

通过新课：在平面上任意两点A

师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无类比，充复习(x1，y1)，B (x2，y2)之间的距关紧要。分发挥学引入

离的公式为|AB| 生：踊跃回答

生的联想能力。

=(x1x2)2(y1y2)2，那么对于空间中任意两点A

(x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？

1

空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理从特殊的概念来完成情况入形成

学生：在教师的指导下作答得出|OP| 手，化解难度

=x2y2z2.

任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通师：注意引导类比平面直角坐标系中，方（3）如果|OP| 是定长r，那过类比在22222程x + y = r表示的图形中，方程x + y = 么x2 + y2 + z2 = r2表示什么2平面直角r表示图形，让学生有种回归感。图形？

系中，方生：猜想说出理由

程x2 + y2

= r2表示原点或圆，得到概念知识上的深化

升华，提高学习的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。人的认识得出结论：是从特殊|P1P2| =情况到一般情况的

(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

巩固练习1.

（1）A(3，-2，5)，B(6，0，教师引导学生作答

培养学生直接利用公式

2

-1）求AB距离。（2）

A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为多少。

2.

如图，正方体OABD

–

D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.

3．（引例）如图，正方体ABCD

–

A′B′C′D′，棱长为1，BQ=2QD,A’P=PD,求PQ的长。

（变式1）若Q为对角线D’B的中点，P在对角线A'D上运动，探究PQ的最小值

（变式2）若P为对角线A'D的中点，点Q在对角线D’B上运动，探究PQ的最小值

（变式3）若P为对角线A'D上运动，若Q为对角线D’B上运动，探究PQ的最小值

4.正方体ABCD

–

A′B′C′D′，

P在地面ABCD内运动，Q在棱DD’上运动。PQ=2.求PQ中点M的轨迹以及与此正方体相交围成的几何体的表面积。

课外

解决问题能力，进一步加深理解

布置作业

见阳光课堂学生独立完成

3 巩固深化

练习

和题帮的第二课时

所学知识

备选例题

例1

已知点A在y轴

，点B(0，1，2)且|AB|2【解析】由题意设A(0，y，0)，则(y1)45，则点A的坐标为

5，

. 解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2

坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标. 【解析】由题意设P(0，y，z)，则

yz2

222222(03)(y2)(z5)(03)(y5)(z2)y1解得：

z1故点P的坐标为(0，1，1) 例3

在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. 【解析】设P(0，y，z)，由题意|PA||PC|

|PB||PC|222222(03)(y1)(z2)(00)(y5)(z1)所以

222222(04)(y2)(z2)(00)(y5)(z1)即4yz60y1，所以，

7y3z10z2所以P的坐标是(0，1，–2). 教学反思：

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多变的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.

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