信息技术应用 图形技术与函数性质PPT及课堂实录内容

“三次函数的图象与性质”教学设计

北京市密云区第二中学

康淑欣

一、内容和内容解析

1．内容

本节课是人教A版数学选修2-2，在讲授完第一章第3节《导数在研究函数中的应用》之后，结合教材33页：信息技术应用——图形技术与函数性质，以及教材32页B组题第2题（利用信息技术工具画出三次函数的图象，并利用导数研究其单调性），整合设计的《三次函数的图象与性质》的教学设计．

2．内容解析

函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线．学生在初中阶段已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数；在高中阶段《必修1》和《必修4》中，已经学习过函数的概念、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，以及函数的基本性质：单调性、奇偶性、周期性；在《选修2-2》中学习了利用导数求函数的单调区间、极（最）值．教材的编写特别强调了知识的螺旋式上升，在前面的学习中，学生积累了大量的研究函数及其性质的实际经验，但是对一般的三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的图象与性质并没有系统的学习．

三次函数是继二次函数之后的又一个多项式函数，与二次函数一样，有着系统、完整的图象与性质．又由于三次函数本身更为复杂，其性质也就更丰富，更深刻．通过设计自然的过程，让学生经历研究一类函数——三次函数的完整过程，既是对函数模型的补充与拓展，也是对导数应用的巩固与深化，同时关注了数学的整体性，有助于提升学生的系统思维水平．

本节课主要内容是以导数作为研究函数方法的主线，探索三次函数的图象特征和相关性质，并且在具体问题的应用中进行消化、巩固．通过师生之间、生生之间、人机之间的充分交流，对三次函数图象和性质进行探究，体验函数的思想——运动变化的思想，培养学生直观想象、数学抽象的能力，建立数与形的联系，启发学生

“由数想形”“由形助数”，渗透数形结合的思想．

三次函数图象是研究三次函数性质的直观工具．利用图形计算器，让学生自主进行数学实验，通过大量的具体三次函数图象抽象出图象的大致形状：单调或者“双峰”图象，对图象进行定性分析，渗透直观想象的数学核心素养．利用图形描述、分析函数性质，抽象出一般性的规律，并用数学语言予以表征，加以应用，这也是“归纳—演绎”的基本模式，重在培育数学抽象的核心素养．

函数的变化规律可用函数的性质来描述．三次函数的基本性质是单调性、对称性（奇偶性）、极（最）值点、零点．这里最关键的是单调性．在《必修1》中我们直接根据单调性的定义，研究函数的单调性，以及函数的最值．用定义求三次函数单调性有时需要很多变形的技巧，在此处不是一般通用的方法．在《选修2-2》中我们学习了导数，导数是微积分的核心内容之一，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．运1

用导数来研究函数的单调性、极值、最值等问题其方法具有普适性、通用性．三次函数的导函数f'(x)是二次函数，利用二次函数在某区间的符号，可以判定函数f(x)在这个区间的单调情况，这需要对导函数f'(x)的开口方向和判别式的符号进行分类，蕴含了分类讨论的数学思想方法．通过探究学习，学生能够在比较复杂的情境中，把握三次函数与其导函数（二次函数）之间的关联，并用表格的形式把结论表示出来，培养学生逻辑推理能力．

教学重点是：

通过具体实例，抽象概况出三次函数的图象特征和相关性质；利用导数判断三次函数的单调性．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）会通过图形计算器画出三次函数图象，通过探索三次函数图象的变化规律，抽象概括出三次函数的图象特征和性质．

（2）能利用导数求出三次函数的单调区间，会画出三次函数图象的示意图，理解三次函数的概念，体会数形结合的思想．

（3）经历利用图形计算器研究一类函数的完整过程，掌握研究一般函数图象与性质的方法，通过数学实验提高探索和解决问题的能力．

2．目标解析

（1）会借助图形计算器得到大量三次函数图象，通过观察这些图象的大致形状，经历试验、类比、猜想、归纳、概况、证明的过程，最终抽象出三次函数图象特征和相关性质．

（2）能利用导函数一般性地研究三次函数的单调性，会利用导数和一些特殊点画出三次函数图象的示意图，在此过程中加深对函数单调性本质的理解，进而理解三次函数的概念，感悟导数是研究函数性质强有力的工具，体会数形结合和分类讨论的数学思想方法．

（3）经历利用图形计算器研究一类函数图象及其性质的过程，掌握研究一般函数图象与性质的基本方法，通过自主设计、动手操作数学实验，提高探索和解决问题的能力．

三、教学问题诊断分析

本节课的认知基础是：研究一般函数概念、性质及其研究过程与方法，基本初等函数的图象及其性质，导数的相关知识．

教学问题诊断：三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)中有四个系数，个数较多，它们对三次函数图象的影响究竟是怎样的？如何同时研究四个变量？对如何解决这些问题，学生们的经验还是很有限的．教师利用图形计算器的强大画图功能，设计数学实验，通过学生动手操作、直观感知、猜想与证明的过程，突破教学难点．

在前面的学习中，学生已经初步接触到了利用导数求特殊的三次函数的单调区间、极（最）值的方法，但是对于一般的三次函数求单调区间并没有涉及．在这里需要从单调性的本质——导函数的符号与原函数的单调性之间的关系入手，对导函数的开口方向和判别式的符号进行分2

类讨论．

数形结合的思想是研究函数性质的重要思想，如何在本节课中渗透数学基本思想方法，做到“由数想形”“由形助数”，还需要教师有意识的安排循序渐进的体会过程，注重在课堂上落实对核心概念的理解和挖掘．

基于上述分析，确定本课的教学难点：

三次函数解析式中四个系数对三次函数图象的影响；用导数研究三次函数单调性时采取的分类讨论思想；

“由数想形”“由形助数”的基本思想．

四、教学支持条件分析，

研究三次函数图象时，需要通过从大量的图象中抽象出函数性质．由于通过描点画图的方法，在取点时具有局限性，不一定能很好的体现出三次函数的图象特征，在这里借助图形计算器辅助画图，通过拖动游标，设置动画，控制变量等方法，帮助学生画出（动态）图象，使得学生能够把更多的精力放在观察函数图象上，在运动变化中找到不变性，进而猜想、证明、验证函数的性质，为突破本节课的难点提供了保障．图形计算器辅助画图还可以更好地培养学生直观想象能力，建立数与形的联系，落实数形结合的思想．借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程．

五、教学过程设计

引入：函数是近代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，是贯穿高中数学课程的主线.

今天我们将要利用所学知识来研究一个新的函数——三次函数．

一、提出问题，设计方案

问题1：你认为三次函数的定义是怎样的？你是怎么得出的？

教学预案：一般地，形如f(x)ax3bx2cxd(a,b,c,d为常数，a0)的函数称为三次函数．通过类比二次函数的定义得出．

【设计意图】让学生利用类比的思想，得出三次函数的定义．明确本节课研究对象．

教师：回顾学过的基本初等函数的研究过程，我们往往从函数的图象和性质两个方面入手研究一个函数．函数图象是发现函数性质的直观载体，但是由图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认．反过来，函数的性质还可以指导画图．重点体会“由数想形”“由形助数”的数学思想方法．

问题2：你认为需要研究三次函数的哪些性质呢？

教学预案：研究三次函数定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性、极值等．

【设计意图】确定研究函数的哪些性质，对所要研究的函数性质达成基本共识，明确研究目标．让学生自己设计表格，培养学生的逻辑思维能力、表达能力．

二、初探图象，归纳性质

问题3：你能归纳三次函数yax3bx2cxd(a0)图象的大致形状吗？它的图象有什3

么特点？ 教学预案：教师先引导学生观察三次函数的解析式，发现其系数个数较多，类比研究函数yAsin(x)b的图象与性质时采取的方法——控制变量，研究三次函数的概念．在研究过程中应遵循由简单到复杂的研究过程，所以先研究三次函数f(x)ax3(a0)的图象与性质．

探究活动1：

研究三次函数f(x)ax3的图象与性质．打开图形计算器，在学生课件中输入bcd0，拖动游标a，观察图象形状变化规律并归纳其性质．

教学预案：学生可能发现以下结论：

①

当a0时，三次函数f(x)ax3为增函数；当a0时，三次函数f(x)ax3为减函数．此

处引导学生联想二次函数图象开口方向与二次项系数a的符号的关系；在探究其他三个系数对其图象形状的影响时可以考虑先固定a的值．

②

图象过点、

（

、（强调描点法在画函数图象中的重要作用）．

1,a）（-1,a）（0,0）③

当a越大时，图象越陡．

④

三次函数f(x)ax3的定义域和值域均为R，是奇函数，不是周期函数．

【设计意图】（1）从具体到一般的研究三次函数的图象与性质．类比研究二次函数概念时，先从二次函数f(x)ax2入手，研究a的作用．（2）直观感知a的符号与其单调性的关系，引导学生在研究其它系数时可以利用控制变量的方法，先固定a的值，再探究其他三个系数对其图象形状的影响．（3）通过图象直观感知，得到三次函数f(x)ax3的定义域、值域、奇偶性、周期性等．

探究活动2：（1）在课件中固定a的值，分别拖动游标b、c、d（注意：一次只拖动一个游标），认真观察函数图象的形状；改变a的值后，重复上面的操作．

（2）在课件中使用游标的“动画”功能，让四个（也可以是部分）游标动起来，再次观察图象的形状．

（3）把你观察到的这些图象归类，选出几个你认为最有代表性的图象画在学案上，完善表格中有关函数性质的内容．

注意：①如果图象看不全，可以利用“小抓手”拖拽坐标轴，把坐标轴放大或缩小．也可以点击“菜单”，选“4窗口/缩放”，对页面大小进行调整．

②可以使用“ctrl+菜单”，选择“设置”按钮，对游标的取值、取值范围、步长等进行修改，也可以开始和结束动画．

找一至两名小组成员利用展台展示小组成果，其他同学做补充发言．

教学预案：①当a0时，图象呈现单调递增，或者先增后减再增的趋势，当a0时，图4

象呈现单调递减，或者先减后增再减的趋势．

②当改变b、c的值时，函数呈现单调（增或减）或“双峰”图象．

③当d逐渐变大时，图象呈现“向上走”的趋势（原因是函数过点）．

（0,d）④当四个游标都运动时，验证以上关于函数图象形状或性质的猜想．

⑤

完成表格中的图象、定义域、值域、奇偶性等部分．

【设计意图】（1）数学实验不仅调动学生多种感官协调作用，更变学生被动学习为主动学习，使学生有机会在一种真实的、体现数学发明与证明的环节中接受挑战性的学习任务，自主进行实验、研究和发现．利用计算机的动态作图功能，通过学生有规律的实验，使课堂教学成为一个有目的、有计划、有组织、有结构的活动体系．（2）通过一系列的活动，运用控制变量的方法，依次研究三次函数的系数对图象形状的影响．使得学生能够得出三次函数的四种图象和部分性质．如定义域，值域，不是周期函数，当且仅当bd0时函数为奇函数，极值点的个数，单调性等．（3）让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象地研究函数性质的方法，体会“由数想形”“由形助数”的基本思想．

三、再探图象，揭示本质

问题4：请你运用导数研究三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的单调性．

学生先独立思考，再小组交流讨论．教师找一名小组成员利用展台展示小组成果，其他同学做补充发言．

【设计意图】利用导数工具对函数进行定量的分析．让学生在解决问题中巩固运用导数研究函数单调性的方法，加深对分类讨论思想的理解，培养学生良好的解题习惯．

四、深化理解，巩固应用

例题：若函数f(x)x34x24xc(c为常数)有三个不同零点，求c的取值范围．

一名学生板书，其他同学独立完成，师生共评．

【设计意图】应用三次函数的图象和性质解决问题，再次体会导数是研究函数性质的有力工具，体会“由数想形”“由形助数”的思想方法．

五、课堂小结、承载思想

总结提问：

1.通过本节课的学习，你认为研究函数的图象与性质的基本思路是什么？

（由多个具体三次函数图象，经历探究、归纳、猜想、证明，最终抽象出三次函数图象和性质）

2.本节课体现的数学思想方法有哪些？

（数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象、分类讨论）

3.在获得三次函数性质过程中使用到了哪些学习方法？

（直观感知-操作确认-推理证明）

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六、目标检测设计

1．阅读教材33页，参考资料（关于三次函数的对称中心的证明）．

2．完成教材32页B组题第2题．

3．补充练习：

（1）函数f(x)2x36x2m（m为常数）在-2,2上有最大值3，那么此函数在-2,2上的最小值为

．

（2）已知函数f(x)x3ax2bxc，当x1时，f(x)的极大值为7；当x3时，f(x)有极小值．求：

①a,b,c的值；②函数f(x)的极小值．

（3）已知函数f(x)2x33x，若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围．

（备注：前2题选自教参58、59页，第3题选自14年北京文科20题第（2）问）

4．请你研究函数f(x)xex的图象及其性质，写出研究过程和结论．

【设计意图】落实求函数单调区间的基本步骤，能利用导数、特殊点等方法画出函数的示意图．通过及时应用所学知识与方法，达到会研究其它函数图象与性质的基本方法．

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