3.1.3 导数的几何意义名师教学设计2

导数及其应用

教学目标：理解并掌握导数的意义及其求法.弄请导数的在题目求解过程中的作用以及用

导数可以解决一些什么样的问题教学重难点：重点：用导数来研究函数的图像，单调性，最值，极值问题

难点：1求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际；

2对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值

教学内容：

教学内容

知识归纳

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|xx0。

即f（x0）=limx0y叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xyf(x0x)f(x0)y=。如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0xxxf(x0x)f(x0)y=lim。

xx0xyy有极限。如果不存在极限，xx说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：

（1）求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）；

（2）求平均变化率yf(x0x)f(x0)=；

xxy。

x0x（3）取极限，得导数f’(x0)=lim2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f（x0）（x－x0）。

3．几种常见函数的导数: ①C0; ②xnxx/nxxn1; ③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx; ⑤(e)e;⑥(a)alna; x

⑦lnx

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (uv)'u'v'.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'u'vuv'.

若C为常数,(Cu)'C'uCu'0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cu)'Cu'.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：‘=11; ⑧logaxlogae. xxuvu'vuv'（v0）。

2v形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X= y＇|U

·u＇|X

5.单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

如果f'(x)0，则f(x)为增函数；

如果f'(x)0，则f(x)为减函数；

如果在某区间内恒有f'(x)0，则f(x)为常数；

6.极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

7．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ(x)在(a，b)内的极值；

②求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

③将函数ƒ

(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

y 经典题型

A C 4

3 1.导数定义的应用

2 1 B ABC例1 (北京高考）如图，函数f(x)的图象是折线段，

O 1 2 3 4 5 6 x 其中A，B，C的坐标分别为(0，，，，，4)(20)(64)，

limx0f1xf1_________． x0x22x4　　解：由图可知fx，根据导数的定义

x2　　　2x3

知limx0f1xf1f12．

x．

2、利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

【例2】（

辽宁高考）设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，，则点P横坐标的取值范围为（ ） 4A．1，

21B．10，

C．01，1

 D．，12导数及其应用基础练习

一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）

1．函数f(x)2x的导数是（ ）

2(A) f(x)4x (B) f(x)4x (C) f(x)8x (D) f(x)16x

2．函数f(x)xe

x22的一个单调递增区间是（ ）

(A)1,0 (B) 2,8 (C) 1,2 (D) 0,2

3．已知对任意实数x)x，有f(x)f(，g(x)，且x0时，g(xf(x)，0g(x)，则x0时（

）

A．f(x)0，g(x)0

C．f(x)0，g(x)0

4

B．f(x)0，g(x)0

D．f(x)0，g(x)0

4．若曲线yx的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ ）

A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30

5．曲线ye在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（

）

x292Ａ．e

4

Ｂ．2e 2Ｃ．e

2e2Ｄ．

2

6．设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（

）