1.1.3 四种命题间的相互关系优秀获奖教案

三元整合教学模式数学学科导学稿（教师版）

编写：谢均雄 审稿人：高二备课组 定稿日： 2018-10

选

修

1-1

高二（ ）班

第＿小组 姓名： 编号：二、教学目标：

1.明确四种命题的相互关系.（重点） 2.能够判断四种命题的真假.（难点）

3.会利用命题的等价性解决问题. 三、学习过程

㈠复习： 四种命题形式: 原命题: 若

p , 则 q

； 逆命题: 若

q , 则 p

评价： 一、课题：§1.1.3四种命题间的相互关系（人教版选修1-1，P6～8）

否命题: 若┐p , 则┐q

； 逆否命题: 若┐q , 则┐p

(二)探究一

考察下列四个命题之间的关系

⑴若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

⑵若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

⑶若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

⑷若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

⑴⑵互为

；

⑴⑶互为

；⑴⑷互为

；

⑵⑶互为

；

⑵⑷互为

；⑶⑷互为

。

1、四种命题间的相互关系

1

上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？

以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题. 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？

(三)探究二

探究点2 四种命题的真假

1.看下面的例子：（判断真假）

（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0. (真) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3. (真) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0. (真) 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3. (真)

（2）原命题：若a > b, 则

ac2>bc2. (假) 逆命题：若ac2>bc2,则a>b. (真) 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2. (真) 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b. (假) 2、四种命题的真假性

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下系：

(1)

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

；

⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

小结：

（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真.但其逆命题、否命题不一定为真. （2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.但原命题、其逆否命题不一定为真.

2

练习：判断下列说法是否正确

（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.

（对）

（3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.

（错）

（4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假. （错）

(四) 例题分析：

证明：若x2y20，则xy0

证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，

也就是说x2+y2 ≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

小结： 因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题.

变式：证明：若a2b22a4b30，则ab1。

证明：假设a-b=1，

则左边=(a+b)(a-b)+2a-4b-3=a+b+2a-4b-3=3(a-b)-3=3-3=0 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

(五)巩固练习

1.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）

A、逆命题

B、否命题 C、逆否命题 D、等价命题

2..设M、N是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）

A、如果MN，那么MC、如果MN，那么MNM

B、如果MNM

D、如果MNN，那么MN

NN，那么NM

3

3.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

D．原命题与逆命题均为假命题

C．原命题与逆命题均为真命题

4.设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假. 【解析】“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该

保留.原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”.

解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真）

否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真）

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）

5. 若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假. 【解析】搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或”

“且”. 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0. （真）

否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. （真）

逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （假）

6.命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假． 解：逆命题“已知a，b为实数，若a2－4b≥0，

则x2＋ax＋b≤0有非空解集”.

否命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0, 没有非空解集，则a2－4b＜0”.

逆否命题“已知a，b为实数，若a2－4b＜0，

则x2＋ax＋b≤0没有非空解集”. 原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为真命题．

4

7.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.

8.完成课本P8页习题1.1第2、3题

四、学习小结（请同学们回顾本课学习了哪些知识）

（1）四种命题的关系；

（2）四种命题的真假及其关系；

（3）一种方法——反证法.

五、疑难汇总

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