小结教案推荐

点与直线的对称问题

吕海军

一、教学目标

二、聚集重点难点

三、教学过程

复习导入：

1、生活中的对称现象：

幻灯片展示图片：天安门全景、剪纸、脸谱——轴对称；

麦田圈、螺旋桨、伞——中心对称。

1、重点：点关于直线的对称问题；

2、难点：直线关于直线的对称问题。

1、了解点与直线的对称问题的常见模型；

2、综合运用中点坐标公式、直线方程知识，解决解题；

3、渗透数形结合，等价转化的思想。

2、复习回顾：对称的定义

幻灯片展示：中心对称、中心对称图形、轴对称、轴对称图形

3、复习回顾：数学中点的对称问题（幻灯片展示）

点（a,b）关于x轴的对称点是（a,-b）；

点（a,b）关于y轴的对称点是（-a,b）；

点（a,b）关于原点的对称点是（-a,-b）; 点（a,b）关于直线y=x的对称点是（b,a）; 点（a,b）关于直线y=x的对称点是（-b,-a）; 点（a,b）关于直线y=n对称的点是（a,2n- b）；

点（a,b）关于点（m,n）对称的点是（2m-a, 2n-b）。

点（a,b）关于直线x=m对称的点是（2m-a, b）；

讲授新课

1、

点关于点对称的问题：

例1

已知P（-3，2）、Q（1、4），则点P关于点Q对称的点的坐标为解：设点P关于点Q对称的点的坐标为M（x，y），则：

1 （5，6）

x312

y242

解得：

x5y6

2、

直线关于点对称问题

例2

方法一

解：设l1：2x+y+m=0 x 求直线l：2x+y+1=0关于点M（1，0）对称的直线l1的方程。

y 在l上取一点A（0，-1），

设A关于M（1，0）的对称点为B（x，y），则：

x012

则B（2，1）

y102由于B在l1上，则2╳2+1+m=0 ∴ m=-5 ∴

l1: 2x+y-5=0 方法二

解：设l1：2x+y+m=0

由题意知：M（1，0）到l与l1的距离相等

∴

|2*1+0+m||2*1+0+1|

4141∴ |m+2|=3 ∴ m=1 或 m=-5 ∴

l1: 2x+y-5=0 y 3、

点关于直线对称的问题

例3

求点P（3，5）关于直线l：x-3y+2=0对称的点Q的坐标。

Q

2 P x

方法一

解：由题意知：PQ与l垂直

∵

l的方程为：x-3y+2=0 1∴

其斜率为k=

3∴ PQ的斜率为 -3 而 PQ过点P（3，5）

∴ PQ的方程为：y-5=-3(x-3) 即：3x+y-14=0 联立l与PQ方程求其交点：

x-3y+2=03x+y-14=0 得 x=4y=2

即PQ的中点为（4，2），设Q（x,y）

x34x=52则： 解得：

y=-1y522

∴ Q（5，-1）即为所求。

方法二

解：设Q（x,y），

由题意知：PQ与l垂直，PQ中点在直线l：x-3y+2=0上

y-51×=-1x-33x=5

解得：

x+3y+5y=-1-3×+2=022∴ Q（5，-1）即为所求。

4、直线关于直线的对称问题

例4

求直线l1：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线l2的方程。

解：联立：

2x+y-4=03x+4y-1=0

得

x=3y=-2y

l1

l

∴

l2也过点（3，-2）

在l1上取一点A（0，4），设A关于

x 3

l的对称点B（m,n），则：

3n414m

mn4341022185解得

4n5m

y2x3 4182355即：2x+11y+16=0 ∴

l2的方程为：2x+y-4=03x+4y-1=0x=3y=-2另解：联立：

得

∴

l2也过点（3，-2）

由题意知：l到l1的角与l2到l的角相等

332k2+4

设：

l2的斜率k2，则：43311k2242解得：k2=

112所以，l2的方程为：y(2)(x3)，即：2x+11y+16=0。

115、课堂小结、布置作业

（1）在“点与直线对称”问题中可能用到的知识：（幻灯片展示填空）

1、直线互相垂直的条件：__________________ 2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为 ______________ 3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的条件是 __ __ 4、到角公式：设l1、 l2的斜率分别为k1、k2, l1到l2的角为θ，则

tanθ=__________ 4

（2）作业：

①光线从一点A（-3，5）射到直线l：3x-4y+4=0上后，反射到

点B（2，3），求反射光线所在的直线的方程。

提示：入射光线与反射光线关于镜面直线对称。

答案：6x+y-15=0

②求直线2x-11y+48=0 关于直线2x-y-7=0的对称直线方程。

答案：2x+y-18=0 5