复习参考题名师教学设计1

空间角的求法

任琳卿

知识点：

一．异面直线所成角：平移法

二．线面角：找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

三．求二面角的方法

1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；

2、三垂线法找二面角的平面角.

例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是______90______.

考向二

线面角

例二、

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

D1A1DAB1C1NCBM

1

练习：

如图，在三棱锥PABC中，PA底面AB,CPA,，

AB60AB,CBCA点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又BCA90，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴DE1BC，

22

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD1AB，

21AB. 2∴在Rt△ABC中，ABC60，∴BC∴在Rt△ADE中，sinDAE

考向三：

二面角问题

在图中做出下面例题中二面角

DEBC2，

AD2AD4例三：.定义法（2011广东理18）

如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

且∠DAB=60，PAPD2,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．

（1）

证明：AD 平面DEF; （2）

求二面角P-AD-B的余弦值．

法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。

因PA=PD，有PGAD，在ABD中，ABAD1,DAB60，有ABD为等边三角形，因此PBGADPB,ADGB.

BGAD,BGPGG，所以AD平面又PB//EF，得ADEF，而DE//GB得AD DE，又FEDEE，所以AD 平面DEF。

3

（2）

PGAD,BGAD，

PGB为二面角P—AD—B的平面角，

RtPAG中,PG2PA2AG274

在RtABG中,BG=ABsin60=

在32

2

734PGBGPB21cosPGB442PGBG773222

22法二：（1）取AD中点为G，因为PAPD,PGAD.

又ABAD,DAB60,ABD为等边三角形，因此，BGAD，从而AD平面PBG。

延长BG到O且使得PO OB，又PO平面PBG，PO AD，ADOBG,

所以PO 平面ABCD。

以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系。

11P(0,0,m),G(n,0,0),则A(n,,0),D(n,,0).22设

4

|GB||AB|sin6032

B(n32,0,0),C(n331n31m2,1,0),E(n2,2,0),F(24,2,2).AD(0,1,0),DE(3,0,0),FE(n3,0,m由于2242)

得ADDE0,ADFE0,ADDE,ADFE,DEFEE

AD平面DEF。

PA(n,12,m),PB(n32,0,m)2）

m2n2142,(n32)2m22,解之得m1,n32.

取平面ABD的法向量n1(0,0,1),

设平面PAD的法向量n2(a,b,c)

PAn3由20,得2ab2c0,由PDn3b20,得2a2c0,n3取2(1,0,2).

3cosn1,n2221.1774

5

（

6

2、三垂线定理法

例四．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D1EA1D；

（2）当E点为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离；

DECD的大小为4？

（3）AE等于何值时，二面角1

18．（本小题满分14分）

（1）证明：如图，连接D1B，依题意有：在长方形A1ADD1中，ADAA11，

四边形A1ADD1A1DAD1A1D平面AD1B又AB平面A1ADD1ABA1DA1DD1EDE平面ADB11ADABA．………

4分

7

1ACD1的距离为3．

…………………………………………………

8分

∴点E到平面DFDFD1为二面（3）解：过D作DFEC交EC于F，连接1．由三垂线定理可知，角D1ECD的平面角．

DFD14，∴D1DF2，D1D1DF1．

………………………

10分sinDCFDF1DCFBCFDC26，∴3．……………………

12分

tan∴3BEBE3BC，AEABBE23．

DECD的平面角为4．……………………………

14分

故AE23时，二面角1

8

练习. 如图，在四面体ABCD中，ABAD2,BD2,DC1,且BDDC，二面角ABDC大小为60．

(1)求证：平面ABC平面BCD；

(2)求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

17．解：(1)在四面体ABCD中，取BD、BC中点分别为

M、N，连接MN，则MN//DC

BDDC,则MNBD

又ADAB2则AMBD

1

AMN60, 2AMN中，AM1,MN可知ANM90

又BD面AMN,则BDAN

AN和两相交直线BD及MN均垂直，从而AN面BDC

又面ABC经过直线AN，故面ABC面BCD…………………………(6分) (2)由(1)可知平面ABC平面BDC

过D向BC作垂线于足H，从而DH面ABC

过RtBDC中，BD2,DC1，则DH 于是DC与平面ABC所成角即DCH

sinDCH2

5225

5525.…………………………(12分) 5 因此直线CD与平面ABC所成角的正弦值为

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