3.3.4 两条平行直线间的距离第二课时教学实录

3.3.4 两条平行直线间的距离

【教学目标】

1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 【重点难点】

教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 【课时安排】

1课时

【教学过程】

1.导入新课

我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0). 图1 2.

新知探究：

（1）两平行线间的距离处处相等；

（2）公垂线段。

提出问题：

求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。

同学们有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：

引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=. 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) （展示学生的不同证明方法）

证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. .

讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=. ①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=. ；

观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=

. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=3.应用示例

例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. . 解:( 1)根据点到直线的距离公式得d=(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=. . 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.

解:=4|3a-6|=20a=20或a=. 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h. |AB|=，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在的直线方程为点C到x+y-4=0的距离为h=因此，S△ABC=×=5. ,即x+y-4=0. ，

点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3 求平行线2x-7y+8=0和6x-21y-6=0的距离. 点评:(方法一)把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离; （方法二）直接运用两平行线间的距离公式。

变式训练

求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.

答案：拓展提升

. 问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. 解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，

则直线MO′的方程为y-3=x. )即为所求，

. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用. 作业

课本习题3.3 A组9、10；B组2、4.