习题2.3教学实录与评析

《二面角》教学设计

一：指导思想：新课程理念下的数学教学，应帮助学生打好基础，注重提高学生的思维能力，引导学生积极主动的去探索新知识。本节课基点应放在学生行为的参与度上，以问题推进引导学生认真思考，动手实践，自己建构数学知识。通过丰富的课堂数学活动，实现学生自主探究，合作交流。在经历概念、结论的发生、形成、应用过程中，提高学生能力。

二：教材分析：

．内容分析：本节课是人教版高中数学第二册下第九章四小节内容，共两节课，本节为第一节。本节在研究了线线角、线面角的基础上，通过对比平面角的形成使学生理解二面角的定义并进一步探求其大小的测量，二面角的平面角是用来刻画二面角大小的一个概念。本节课的学习，是下一步研究面面垂直的直接基础，也是后面研究多面体问题的必要前提。本节课的重点是二面角的定义及二面角平面角的作图方法。难点是二面角平面角的探求过程。应强调平面角所在面垂直于二面角的棱，其三要素必须满足一点、二垂直。

．学情分析：这个年龄阶段的学生，虽有一定的创新性，但思维仍属于经验性的逻辑思维。很大程度上仍依赖直观具体的形象性材料来理解抽象的概念或逻辑关系。总体上仍以原有知识为基础来认识、过滤、分析获得新知。本节课之前学生已经掌握线线角、线面角的有关知识。故本节课以生活与科学事例作为背景抽象出二面角概念，再通过动手实践来获取二面角大小的测量方法。这样符合学生由具体到抽象的认知规律。有助于把握平面角几种作法的本质。

三．教学目标设计：

知识与能力：会画各种常见二面角，掌握二面角定义。

通过动手实践，初步掌握二面角平面角的作法。

在问题解决的过程中，培养学生观察能力和空间想象能力。

过程与方法：

经历从情景中抽象出数学模型，进而得到二面角的定义。可使学生认识到数学的应用价值。

在寻求二面角度量方法的过程中，通过恰当引导，学生通过直观感知，操作确认，归纳出定义法、三垂线法及垂面法三种作图方法。

情感态度价值观：通过创设生动情境与解决实际问题，使学生体会数学的应用价值，培养学生的应用意识；

在师生、生生的相互交流中，培养学生对于数学的积极情感；

在探索平面角形成过程中，培养学生勇于探索、坚忍不拔的个性品质。

四．教学煤体设计：为了更好的帮助学生认识图形，从而更深刻的认识性质，提高学习效率，本节课采用几何画板制作课件及教学过程中应用投影仪辅助教学

。使学生在获得感性认识的同时，为掌握理性创造条件。

五：教学策略：

．通过创设具体情景并从中抽象出二面角模型，使学生认识到数学与实际的联系，激发学生对于本节课的学习兴趣。

．通过电脑演示射线绕端点旋转形成角，以及半平面绕棱旋转形成二面角，通过

类比角与二面角，完成知识从平面几何到空间几何的迁移过程。并使学生经历知识的形成，体会从运动变化的观点去看待事物。

．组织学生动手构造二面角，并直观感觉其大小，再引导学生通过具体操作，互相讨论得到二面角的度量方法，在此过程中，培养学生的协作学习能力。同时教师参与其中，及时指导，关注学生学习能力的差异

．安排针对性练习，及时巩固新知。同时注意练习梯度及与实际的联系，培养学生能力。

课后留下探索性作业，以满足让不同学生学习不同数学的思想，关注学生差异与个性发展。

．采用多媒体制作动画以辅助教学，形象反映知识产生的背景，运动变化的过程。使整节课充满生动的数学情趣。

六：教学过程的设计：

开始

（１）．教学流程：

学生观察、直煤体播放卫星轨道图

观感觉、分析

拦洪坝、打开窗、书

师生共同归纳出二

面角概念。

动手实践，合作播放二面角的动态形

交流，解决问题

成。提出问题

点评归纳

形成方法

应用新知

解决问题

师生共同小结

（２）教学实施：

媒体设计

创设情境：卫星轨道图、水坝图。

教师活动

一：创设情境形成概念

．播放多媒体课件。打开一定角度的课本。引导学生观察分析。得出二面角数学模型。

．形成概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角。构成要素：面—棱—面

．展示并画出几种常见二面角及其表示方法。l

学生活动

认真观察、直观感知两个面相交成一定角度。

经历从具体情境中抽象出数学模型从而得到二面角的概念。

动手模仿画出几种常见二面角：直立式、平卧式。并正确表示。

设计意图

创设生动情境，了解知识产生的背景。开阔学生视野，认识数学在实际中的应用。

展示平面角的动态形成：射线绕端点旋转而成；

二面角的动态形成：半平面绕棱旋转而成。

二：观察引导发现问题

播放多媒体课件。

．提出问题：平面角大小唯一确定，初中时已学过其度量方法。二面角大小也唯一确定，如何度量？

引导：你能打开课本使其分别形成，，，二面角吗？

三：探究交流解决问题

组织学生分组探讨二面角的度量方法；

巡视并参与学生其中，对于动手能力较弱的学生给予即时引导点拨；对于做的较好学生进行积极评价。

观察思考，对比平面角与二面角的形成过程。对于其大小唯一形成感性认识。

思考如何度量二面角大小。

动手操作实践，直观构造不同角度二面角。

思考构造的理论。

学生分组讨论，合作探究，互相交流。可能会形成以下三种方案：

引导学生从运动变化的观点看待二面角的形成。

类比角与二面角，为后面将二面角的度量问题转化为平面问题做铺垫。

学生在自主探索与互相讨论中,可经历知识的发生与形成过程;同时经过a1AB交流,可了解不lOa2同的解决问题

方案：如图：在二面角棱上方法,在知识与任选一点，在两个半平面内技能方面,通过分别做棱的垂线所成角交流可互相提高。并在此过A0B。

程，培养学生的探索精神与合AaBO作学习能力，体la会学习的乐趣

方案：从一个面内一点向另一个面做垂线。过向棱引垂线，再连结，所成角A0B。（或过垂足向棱引垂线，再连接）

12

Aa1OlBa2展示几何画板图形、、结合课件进行归纳总结

四：归纳概括形成方法

若三种方案均有学生得出，则组织学生进行讲解，评价。

教师归纳：由方案所得测量二面角大小的方法称为定义法。A0B称为二面角的平面角。

方案，分别为三垂线法和垂面法。

着重指出：

1.

定义法直接根据定义作图。平面角必须满足

：一点、二

垂、三夹角，其顶点为棱上任意点。范围[，] 1．三垂线法原理：须先过一面内一点向另一面做垂线，再过（或）做棱的垂线连接由三垂线定理知即为A0B。

2．平面角所在平面与二面角棱垂直。垂面法原理：做二面角棱的垂面，则垂面与两个半平面交线所成角即为平面角。

若学生只得第种方法，则通过问题引导学生探究方案，

问题：若有一条面的垂线，如何作出平面角？

问题：平面角所在面与二面角的棱有何关系？若用一垂直于棱的面截二面角，请画

方案：用垂直于棱的面截二面角，所得截面图形为一平面角

A0B。

学生上黑板讲解描述自己所得二面角测量方法,其他学生讲评

阅读课本页平面角及直二面角定义

认真聆听、思考老师归纳概括的三种方法及其原理，加深对于结论本质的理解

思考问题,动手操作

使全体学生理解平面角的几种不同做法及其本质

通过学生讲解，

培养学生的归纳概括和语言表达能力

出所得交线

利用投影仪展五：针对练习形成技能

示学生解题过鼓励学生用多种方法完成以程

下练习，并比较那种方法最可取：

题组：

1．求正方体的对角面与各面所成的二面角的大小；

2．棱长都相等的四面体中，至少用两种方法作出二面角的平面角并试求出其大小。

A1ACB

3.如图：A1A面ABC1.若ABC为锐角三角形,作出A1BCA的平面角;2.若ABC1200,作出A1BCA的平面角;

请学生讲评、小结题组一。

规范板书第小题

强调：求角同线线角与线面角步骤同：作、证、点、求、答。

题组：课本例一：如图，河堤斜面与水平面所成的二面角为

°，堤面上有一条直道，它与堤脚的水平线的夹角为

°，沿这

条直道从堤脚向上行走到米时，人升高了多口答第一小题，并说出原理。熟悉二面角平面角满足条件：一点二垂。

动手实践作出第小题并讲解

完成第小题

学生小结，老师补充：

1．定义法有很大局限性，顶点的选择必须使角要可求。

2．若易找出面的垂线，考虑三垂线法。

一般思路，先考虑定义法（选恰当点），再考虑三垂线法（找面的垂线），最后根据题目条件考虑垂面法。

在老师引导下审题、读图将实际问题模型化，用课本比画出河堤斜面与水平面及直道，并在模型上表示出，，已知角及其所要求的高度的实际意义。

学生求出答案。阅读课本，对照过程。

即时训练，应用新知。针对题目的不同特点，熟悉不同方法的应用条件，初步掌握运用不同方法作出平面角。

在问题解决的过程中，培养学生的分析解决问题能力。

运用数学解决生活中实际问题，体会数学建模思想。展示数学知识与实际联系，发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

熟悉垂面法，进一步理解垂面法原理：二面角鼓励学生将直观图模型化：

棱的垂面与两

个半平面交线题组：课本页第六题

所成角即为平引导学生分析：本质即垂面面角。

法画出二面角平面角。垂面为给定面只须证明

（注：题组三根据时间选讲。）

展示三种求角六：感悟与收获

对整节课知识进行梳理，注让学生自己对方案

今天我们学习了那些知识和意知识系统性。

知识进行梳理1．二面角（空间图形）及其总结编码识记，方法？你有什么收获？

平面角定义、范围

鼓励学生总结、补充、教师加强知识之间点评。

平面角三种作法及其适用联系。并学会科性。

学评价

七：作业布置

体现分层教学

必做题：课本：，，

思想：必做题为选做：如图，正方体中，为基础题巩固知棱中点，求面与面

识和技能。选做所成二面角的大小。

题可激发学生思维能力，使能D1C1力较高学生进一步提高自己A1B1E学***。

DABC少？

画图分析思路即可，说出两垂线所在面与二面角棱垂直，画出此面与二面角两面交线即可。

七：教学效果评价：

１．学生自评：

学习行为自我监控评价表

评价内容

评价等级（ＡＢＣ）

对于本节课的学习兴趣

对于问题积极思考，遇到困难不退缩

努力寻求不同方法解决问题

能主动与他人互相交流

存在问题与补救措施：―――――――――――――――――――――――――

收获与感悟：―――――――――――――――――――――――――――――

对于本节课的建议——————————————————————————

２．教师评价：课堂即时评价，采用鼓励性语言评价。利用学生自我评价表进行反馈评价。

人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息

零碎的时间实在可以成就大事业

珍惜时间可以使生命变的更有价值

时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连

一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦

得到时间，就是得到一切

用经济学的眼光来看，时间就是一种财富

时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽

我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近

夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望

不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为

时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费

我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间

时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。只有最大限度地挖掘它，才能体会到学习的乐趣。

新想法常常瞬息即逝，必须集中精力，牢记在心，及时捕获。

每天早晨睁开眼睛，深吸一口气，给自己一个微笑，然后说：“在这美妙的一天，我又要获得多少知识啊！”

不要为这个世界而惊叹，要让这个世界为你而惊叹！

如果说学习有捷径可走，那也一定是勤奋。

学习犹如农民耕作，汗水滋润了种子，汗水浇灌了幼苗，没有人瞬间奉送给你一个丰收。

藏书再多，倘若不读，只是一种癖好；读书再多，倘若不用，只能成为空谈。

学习好似一片沃土，只要辛勤耕耘，定会有累累的硕果；如若懒于劳作，当别人跳起丰收之舞时，你已是后悔莫及了。

不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步，学习的成功与失败原因是多方面的，要首先从自己身上找原因，才能受到鼓舞，找出努力的方向