习题1.2教案推荐

空间几何体的三视图与直观图

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(

) A．正方体的三视图是三个全等的正方形

B．球的三视图是三个全等的圆

C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

答案

B 解析

画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．

2．(2017·安徽毛坦厂中学月考)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个(

)

A．棱台

C．棱柱

答案

A 解析

从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台．

3.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(

) B．棱锥

D．都不对

答案

B 解析

D项为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B. 4．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为(

)

A．圆柱和圆锥

C．四棱柱和圆锥

答案

C 5．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是(

) B．正方体和圆锥

D．正方体和球

答案

B 解析

侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B. 6.(2017·山东德州质检)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是(

)

答案

C 解析

此几何体的侧视图是从左边往右边看，故其侧视图应选C. 7．(2017·临川一中)以下四个选项中恰有三个是一个正四面体的一组三视图，则不是的为(

)

答案

A 解析

结合选项可知B，C，D可构成一个正四面体的一组三视图，故选A.

8.(2017·湖南怀化一中模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

)

答案

B 解析

由三视图定义可知选B. 9．(2017·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为(

) A．22

C．1

答案

A 解析

因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四1边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V＝×22×1×3＝22. 310．(2017·北京东城区)已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个棱锥的侧面积是(

) B．62 D.2

A．4 cm2

C．(8＋42) cm2

答案

D 解析

由三视图可知，该几何体为四棱锥P－ABCD，且PD⊥平面ABCD，底面ABCD为一直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，PD＝AD＝CD＝2，AB＝4，所以PA＝PC＝BC＝22，PB＝26，1111所以其侧面积为×2×2＋×2×2＋×22×4＋×26×2＝22224＋42＋23，故选D. 11．(2015·北京，文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

) B．12 cm2

D．(4＋42＋23) cm2

A．1

C.3

答案

C 解析

将三视图还原成几何体的直观图，如图，

由三视图可知，底面ABCD是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为3.故选C. 12．(2017·南昌模拟)若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是(

) B.2 D．2

答案

D 解析

若该几何体的俯视图为选项D，则其正视图为长方形，不符合题意，故选D. 13．(2017·丰台区期末)如图，方格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(

)

答案

C 解析

由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为C.

114．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可3以是(

)

答案

D 1解析

通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为，可知该几何体的底面积应为1，3因为符合底面积为1的选项仅有D选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D. 15．(2017·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x的值是(

)

A．2

3C.

2答案

D 1解析

由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S＝×(1＋2)×2＝3，211高h＝x，所以其体积V＝Sh＝×3x＝3，解得x＝3，故选D. 3316．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为(

) 9B.

2D．3

1A.

2C.5

2B.D.2

26

2答案

C 解析

由三视图知，该几何体的直观图如图所示．平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A－BCDE111的高为1.四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝×1×1＝，S△ABC＝S△ABE＝×1222×2＝215，S△ACD＝×1×5＝，故选C. 222

17．(2017·北京西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．

答案

23 解析

由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为23. 18．用小立方块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它最多需要______个小立方块．

答案

14 解析

本题考查了三视图的有关知识．需要小立方块最多则：第一层最多6个，第二层最多5个，第三层最多3个，故最多用14个．

1．(2017·《高考调研》原创题)我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图丙中

四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是(

)

A．a，b

C．c，b

答案

A 解析

因为相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，如两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)，所以其正视图与侧视图是一个圆．将该几何体从上向下看，相对两个曲面在同一圆柱的侧面上，因此其俯视图是含有两条对角线且为实线的正方形．故选A. 2．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为(

) A.C.32a

262a

2B.32a

4B．a，d D．c，d D.6a2

答案

C 解析

如图所示是△ABC的平面直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·2·C′O′＝22·3a＝6a.

216而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝·a·6a＝a2. 223．(2014·福建，理)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A．圆柱

C．四面体

答案

A 解析

因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A. 4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正(主)视图有最大面积时，其侧(左)视B．圆锥

D．三棱柱

图的面积为(

) A．23

C.3

答案

A 解析

当正视图面积最大时，侧视图是一个矩形，一个边长为2，另一边长是三棱柱底面三角形的高为3，故侧视图面积为23. 5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A′－EFGH的侧视图为(

) B．3 D．4

答案

C 解析

注意分清三等分点可以看出，侧视图中A′E，A′G重合，A′H成为A′M，A′F，A′B重合，侧视图为向左倾斜的三角形，故选C. 6．(2017·湖南株洲质检)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(

)

答案

C 解析

通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．

7．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为(

)

答案

B 解析

这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B中的图形．

8．(2017·成都二诊)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．

答案

22 解析

由俯视图可得，原正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则1该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为×2×22＝22. 2

9．如图所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．

答案

23

解析

将几何体的三视图还原为直观图：四棱锥P－ABCD，如图将直观图补成一个正方体，显然最长的一条棱的长为PB，即为正方体的对角线长，易知正方体的棱长为2，所以对角线长为23. 10．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；

(2)求出侧视图的面积．

答案

(1)略

(2)6 解析

(1)如右图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，

∴侧视图中VA＝

2342－（××23）2＝23.

321∴S△VBC＝×23×23＝6. 2