2.1.4 平面与平面之间的位置关系优秀教学设计

《平面与平面之间的位置关系》

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教材分析

空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点。空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系。本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系。

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教学目标

【知识与能力目标】

（1）了解空间中平面与平面的位置关系。

（2）培养学生的空间想象能力。

【过程与方法目标】

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握。

（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

【情感态度价值观目标】

让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

【教学重难点】 平面与平面的相交和平行。

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课前准备

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多媒体课件。

（一）复习

1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面。

2.直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点，

②直线与平面相交——有且只有一个公共点，

③直线与平面平行——没有公共点。

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教学过程

（二）导入新课

思考1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

思考2：观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1

（三）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法。

③回忆两个平面相交的依据。

④什么叫做两个平面相交？

⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系。

活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义。

问题②怎样体现两个平面平行的特点。

问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交。

问题④回忆公理三

问题⑤鼓励学生自我训练。

讨论结果：①两个平面平行——没有公共点。

②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2。

图2 图3

③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。此时，

就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l，且P∈l。

④两个平面相交——有一条公共直线。

⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=，则α∥β。

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB，则α与β相交。

两平面平行与相交的图形表示如图4

图4 （四）应用示例

思路1 例1 已知平面α，β，直线a，b，且α∥β，aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系？

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案。教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价。

解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面。

图5 变式1 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。

解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条，如图6

图6 变式2 α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )

A.α、β都平行于直线l、m

B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例。

图7 答案：D

点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维。

例2 如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，

图10 （1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长

解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，

则平面DMN与平面A1C1的交线为QN. QN即为所求作的直线l.如图10 （2）设QN∩A1B1=P, ∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N, 111D1N=C1D1=a

24413∴PB1=A1B1－A1P=aaa

44∴A1P=变式训练

画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线。

解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11 ∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P

∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线。

点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点。

（五）课堂训练

（1）一个平面把空间分为几部分？（2个）

（2）二个平面把空间分为几部分?（3个或4个）

（3）三个平面把空间分为几部分?（4个或6个或7个或8个）

（六）拓展提升

已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a, 求证：b、c是异面直线。

证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交。

(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾。

(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β

∴ABβ,即bβ，这与b∩β=A矛盾

∴b,c是异面直线。

（七）课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线。

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点。

（八）作业

课本习题2.1 B组1、2、3。