3.1.2 导数的概念教学目标设计

14 导数的概念及几何意义

一．变化率问题

问题1：气球平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? “随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：随着气球体积的增大，相应半径的

越来越小. 气球的体积V与半径r之间的关系是r(V)

，

则气球胡体积由V1V2的平均膨胀率：r(V2)r(V1).

V2V1思考：当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率为

当空气容量V从1增加到2时，气球的平均膨胀率为

从而:“随着气球体积的增大,比值_______________(即平均膨胀率)越来越小”.

问题2：求平均速度

高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：h(t)4.29t6.t5. 10求在0t1这段时间里，运动员的平均速度为

.

求在1t2这段时间里，运动员的平均速度为

.

则运动员由t1t2的平均速度为：h(t2)h(t1).

t2t1定义：平均变化率：函数yf(x)，从x1到x2的平均变化率为：

设yf(x)，x1是x轴上的一个定点，在x轴上另取一点x2，x2与x1的差记为x，

即x=

或者x2=

，x就表示从

x1到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y

即y=

；如果它们的比值为y，则上式就表示

x为

，此比值就称为平均变化率. 平均变化率也就

是

的增量与

的增量的比值. 观察图像

可知平均变化率是函数过

两点的

的

.

例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 T(月)

小结：求函数f(x)的平均变化率的步骤：

（1）求自变量的增量______（2）求函数值的增量

（3）计算

求出平均变化. 3 6 9 12 例2：

已知函数f(x)x2，分别计算：

（1）求f(x)在

[1，3] 区间上的平均变化率；

（2）已知图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则求y. x

二．导数定义

1. 瞬时变化率：

在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻(某一位置)的速度称为

. 问题1：求高台跳水运动中，

h(t)4.9t6.5t10，当t2时刻的瞬时速度.

（阅读教材P4 ）

即：物体在t2时刻的瞬时速度为：lim瞬时速度是平均速度hf(2t)f(2)，

limt0tt0t2h当t趋近于0时的

，

t

物体在t0时刻的瞬时速度为：limf(t0t)f(t0)h. limt0tt0tf(x0x)f(x0)y.

limx0xx0xf(x0x)f(x0)y，limx0xx0x瞬时变化率：函数yf(x)在xx0处的极限值，即lim2.导数的定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是lim我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作________________即f(x0)limx0f(xx)f(x0)

x由导数定义可知，高度h关于时间t的导数就是运动员的 ，气球半径关于体积V的导数就是气球的 .

例3：

已知质点M按规律s2t23做直线运动，求质点M在t=2时的瞬时速度.

例4：求函数yx3在

x=1处的导数.

小结：利用导数的定义求导，步骤为：

（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；

(2) 求平均变化率yf(x0x)；

xx（3）取极限得导数f(x0)lim三、导数的几何意义

1. 割线斜率与切线斜率

设函数A(0x,0y. x0xyf(x)的图象如图所示，直线AB是过点的一)条xyy割线，此割线的斜率是0,y),B0(xy .当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的x极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，

即k .

2. 导数的几何意义

函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义：是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的___

_．也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是__ _____．相应地，切线方程为______________________．

3．函数的导数

当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是

f(x)的导函数(简称导数)．f(x)也记作y，即f(x)y 巩固练习：

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为（

）

A．3

B．2

C．1

D．0

2. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（

）

9A．6t

B．6t

C．3t

D．9t

t

3. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么lims为（

）

t0tＡ．从时间t到tt时，物体的平均速度；

Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为t时物体的速度；

Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度

4.如果质点A按规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为

5. 已知曲线y2x2上一点,则点A(2,8)处的切线斜率为（ ）

A. 4 B. 16 C. 8 D. 2[来源:Z