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空间几何体的表面积与体积

最新考纲

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知

识

梳

理

1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

[常用结论与微点提醒] 1.正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a. 表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

体积

V＝S底h

1V＝3S底h

1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h

43V＝3πR

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(

) (2)球的体积之比等于半径比的平方.(

) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

) 3(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝2a.(

) 解析

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(

) A.1 cm

B.2 cm

C.3 cm

3D.2

cm 解析

由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm). 答案

B 3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

) A.12π

32B.3π

C.8π

D.4π

解析

设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3a，即R＝3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.

答案

A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

) A.π

3πB.4

πC.2

πD.4

解析

如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA1＝1，球心到底面圆的距离为OM＝2. 3∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝2，故圆柱体积V＝π·r2·h＝3π32π·×1＝4. 2答案

B 5.(2018·天津河西区质检)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.

解析

根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，1四棱锥的高为3 m.故该四棱锥的体积V＝3×2×1×3＝2 (m3). 答案

2

考点一

空间几何体的表面积

【例1】

(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形

和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A.10

B.12 C.14

D.16 解析

(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h. 由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4. 所以l＝22＋（23）2＝4. 故该几何体的表面积S表＝

1πr2＋ch＋2cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

1(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝2×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.

答案

(1)C

(2)B 规律方法

1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 【训练1】

(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

)

A.8＋22

B.11＋22

C.14＋22

D.15 (2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条28π互相垂直的半径.若该几何体的体积是3，则它的表面积是(

)

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

解析

(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.

直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)1＝8＋22，两底面的面积和为2×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋222×＋3＝11＋22. (2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的1三个平面)切掉8球所剩的组合体，

71其表面积是球面面积的8和三个4圆面积. 74328π设球的半径为R，则8×3πR＝3，R＝2. 7322故几何体的表面积S＝8×4πR＋4πR＝17π.

答案

(1)B

(2)A 考点二

空间几何体的体积

【例2】

(1)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(

)

A.3

3B.2

C.1

3D.2

(2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(

)

12A.3＋3π

12C.3＋6π

12B.3＋3π

2D.1＋6π

3解析

(1)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝2AB＝3，

又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，

111∴VA－B1DC1＝3S△B1DC1·AD＝3×2×3×3＝1. 2×

(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半212142312＝＋π.

球半径为2，从而该几何体的体积为3×1×1＋2×π×3236答案

(1)C

(2)C 规律方法

1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 3.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 【训练2】

(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(

) A.2

9B.2

3C.2

D.3 (2)(2018·郑州质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.

1解析

(1)由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝2(1＋2)×21＝3.∴V＝3x·3＝3，解得x＝3. (2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，

1113×23×12×则体积V＝3Sh＝3×1＝3. 3答案

(1)D

(2)3

考点三

多面体与球的切、接问题(典例迁移) 【例3】

(经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) A.4π

9πB.2

C.6π

32πD.3

解析

由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r. 11则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 222r＝4＞3，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大. 3由2R＝3，即R＝2. 439故球的最大体积V＝3πR＝2π.

答案

B 【迁移探究

】

若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积. 解

将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，

则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球. ∴体对角线BC1的长为球O的直径. 因此2R＝32＋42＋122＝13. 故S球＝4πR2＝169π.

规律方法

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练3】

(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9.则球O的表面积为________.

(2)(2018·佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

) A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

解析

(1)如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC. 因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，

11113所以VA－SBC＝3×S△SBC×OA＝3××2r×r×r＝23r，

1所以3r3＝9⇒r＝3，所以球O的表面积为4πr2＝36π.

(2)因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC1122的体积取得最大值.由3×R×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR＝144π.

2答案

(1)36π

(2)C

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

) A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

π16解析

设米堆的底面半径为r尺，则2r＝8，所以r＝π.

112π162320π·5≈(立方尺). 所以米堆的体积为V＝4×5＝12·3π·r·9320故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛). 答案

B 2.(2018·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)

A.π

B.2π

C.3π

D.8π

解析

由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥. 1∴该几何体的体积V＝3×π×12－·π×12×3＝2π.

3答案

B 3.(2018·衡阳联考)如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为(

)

A.6π

C.4π

2B.3π＋3 D.2π＋3 解析

此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.表面积为

4π1S＝2＋2×2×2π＝4π.

答案

C 4.(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(

)

A.18＋365

C.90

B.54＋185 D.81 解析

由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体. 由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝35.故该几何体的表面积S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋185. 答案

B 5.(2018·商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近(

)

A.3 cm

B.4 cm

C.5 cm

D.6 cm 解析

由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于侧视图直角三角形内切圆的半径，设为r cm，则10－r＋10－r＝102. ∴r＝10－52≈3.

答案

A 二、填空题

6.(2017·全国Ⅱ卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________. 解析

∵长方体的顶点都在球O的球面上，

∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径. 设球的半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14. 142＝14π.

∴球O的表面积为S＝4πR＝4π×22答案

14π

7.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 11解析

设新的底面半径为r，由题意得3πr2·4＋πr2·8＝3π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案

7 8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线V1均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V的值是________. 2

解析

设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R. 4又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝3πR3，

V12πR33所以V＝4＝2. 23πR3

3答案

2

三、解答题

9.(2016·江苏卷改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

解

由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－112A1B1C1D1的体积V锥＝3·A1B2PO1＝3×6×2＝24(m3)；

1·正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3). 故仓库的容积是312 m3. 10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解

(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6. 1故S四边形A1EHA＝2×(4＋10)×8＝56，

1S四边形EB1BH＝2×(12＋6)×8＝72. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，

97所以其体积的比值为79也正确. 能力提升题组

(建议用时：20分钟) 11.(2018·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(

)

4141A.48π

C.4π

41B.4π

4πD.3

解析

由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为侧视图，PE⊥平面ABC，E，F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，如图所示. 设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，

341则h2＋2＝12＋(2－h)2，∴h＝4，R2＝16. 41∴几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝4π.

答案

B 12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________.

解析

该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.

1则表面积S＝2×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，

又S＝16＋20π，所以(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2. 答案

2 13.(2018·沈阳质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.

(1)证明：A1O⊥平面ABC；

(2)求三棱锥C1－ABC的体积. (1)证明

因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，

且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC. (2)解

∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.

2由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝AA21－AO＝3，

111∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝3S△ABC·A1O＝3×2×3×3＝1. 2×