3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示板书设计及意图

空间向量的正交分解及其坐标表示

一、教学任务及对象

1.

教学内容分析：《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量的正交分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础。

2.

教学对象分析：本节课授课的对象是高二学生，他们已经掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，但在把向量推广到空间的思维过程认识还比较模糊。

二、教学目标

1.

知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2.

过程与方法：通过类比、观察、分析、抽象概括等培养学生的逻辑思维能了。

3.

情感态度与价值观：通过本节课的学习，养成学生积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

三、教学重难点

重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

四、教学过程

问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？

问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？ 由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和使a1a12a2a2，2. 如果a1a2时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即得到平面向量的坐标表示a(x,y). 今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用． 类比探究：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.

问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量a1,a2,a3，你能得到类似的结论吗？

1、空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

合作学习、探究新知

e1、e2、e3分别是与x轴、 y轴、 z轴的ABe12e23e21、在空间坐标系o-xyz中, ,( 正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。

2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，

例题讲解：

例1.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.

小结：1．什么叫空间向量的基本定理？

2．什么叫正交分解？如果坐标表示一点？

作业：书本P98：7、9、11

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