1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀教学设计

5.2.4 等比数列的概念

教学设计

一、教材分析

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

二、学情分析

从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。

三、教学目标

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）

1、知识与技能目标：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念。

2、过程与方法目标：逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题。

3、情感态度价值观目标：通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力。

四、教学重难点

重点：1、等比数列的定义。

2、等比数列的通项公式。

3、等比中项的定义及公式。

难点：灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题。

五、教学方法

本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法。充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性。在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的。

六、课前准备

1.学生的学习准备：学生课前预习本节课的内容。

2.教师的课前准备：老师准备教学课件和撰写教案。

六、教学过程设计

1、

创设情境，提出问题

【教学内容】：复习提问等差数列的相关内容；学生动手操作：把一张纸连续对折5次，试写出每次对折后纸的层数。通过学生动手操作可得折纸的层数是2，4，8，16，32。复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本212利和。得到数列10000×1.05,10000×1.05,…,10000×1.05.

【师生互动】：教师提出问题，学生思考回答。教师用问题引导学生观察相邻两项的关系，根据前面所学等差数列的知识，尝试给出等比数列的定义。

【设计意图】：回顾以前学过的知识，为知识迁移做准备。通过动手操作解答问题，体验数学发现和创造的过程。

2、

自主探究，找出规律

【教学内容】：引导学生对上述问题分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q0)表示，即an:an1q(nN,n2,q0)。

【师生互动】：由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句。

【设计意图】：培养学生发现问题，类比推导与归纳总结的能力。

3、

观察判断，分析总结

【教学内容】：观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，……

……

1，-2，4，-8，……

-1，-1，-1，-1，……

1，0，1，0，……

思考：①公比

能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比为1是什么数列？

③数列递增吗？

数列递减吗？

选题分析：因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题③是让学生明白q0时等比数列的单调性不定，而q0时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。

【师生互动】：教师出示题目，学生思考、抢答。启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。

【设计意图】：通过一组练习题，加深学生对等比数列定义的理解。用抢答的方式，激发学生的思维，调动学生的学习积极性。

4、

观察猜想，求通项：

【教学内容】：由定义知道a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa1q3,……归纳得：等比数列的通项公式

首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式可以表示为：

ana1qn1(nN)

根据这个通项公式，只要已知首项a1和公比q，便可求得等比数列的任意项an。

事实上，等比数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个。

【师生互动】：老师仿照等差数列通项公式的推导过程，归纳总结等比数列的通

项公式。

学生分组探究。

a2= a1 q，

a3=

q = a1 ，

a4=

q = a1 ，

……

an = a1 。

练习时请个别学生在黑板上做题。教师订正。

【设计意图】：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力和合作意识。巩固加深对等比数列概念及其通项公式的理解，能运用等比数列解决一些简单的实际问题。

5、

问题探究：通项公式的应用

【教学内容】：

例1 已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。

解 设这个数列的第一项是a1，公比是q

，则

a1q2

= 12， ①

a1q3

= 18。 ②

解①②所组成的方程组，得

q = ，a1 = ，a2 = a1q =× =8。

16，第2项是8。

33216316332即这个数列的第1项是

例2 将20，50，100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q。

解 设所加常数为a，依题意20+a，50+a，100+a成等比数列，则

50+a100+a＝，

20+a50+a去分母，得(50+a)2

＝(20+a) (100+a)，即

2 500+100 a + a2＝2 000+120a + a2，

解得a＝25。

代入计算，得50+a50+2555＝＝，所以公比q

＝。

20+a20+2533

【师生互动】：教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？教师启发学生，当用一个式子解决不了问题的时候，考虑构成方程组来解决。教师板书解题过程。

【设计意图】：教师注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法。通过练习，让学生进一步掌握等比数列中，求公比的独特方法。

6、探究等比中项

【教学内容】：

1、等比中项的定义

在2与8之间插入一个数4，那么2，4，8成等比数列。

一般地，如果a，G，b

成等比数列，那么G

叫做a与b的等比中项。

2、等比中项公式

如果G

是a与b的等比中项，则

G

2 = a

b

，即G =±ab。

容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。

【师生互动】：由特殊数列2，4，8引出等比中项的定义。教师提问：2，－4，8是否构成等比数列？－4是不是2和8的等比中项？学生思考、合作探究，得出等比中项公式。教师引导学生注意等比中项的值有两个。

【设计意图】：培养学生发现问题，进行类比、推导以及归纳总结的能力。

7、归纳总结

【教学内容】：

1、等比数列的定义。

2、等比数列的通项公式。

3、等比中项的定义及公式。

4、等比数列定义与通项公式的应用。

【师生互动】：学生阅读课本，畅谈本节课的收获。教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法。

【设计意图】：教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能

力。

8、检测作业

【教学内容】：教材P53 习题2.4 A组 B组

【师生互动】：学生课后完成，教师统一订正。

【设计意图】：巩固拓展。

七、板书设计

等比数列的概念

1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q0)表示，即an:an1q(nN,n2,q0)。

2.等比数列的通项公式：ana1qn1(nN)

3.等比中项定义：一般地，如果a，G，b

成等比数列，那么G

叫做a与b的等比中项。

等比中项公式：如果G

是a与b的等比中项，则G

2 = a

b

，即G =±ab。

八、教学反思

在课堂中，把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示，作为教学重点。同时采用启发式、自主探究式的教学方法，引导学生进行类比推理，促使学生不知不觉地参与教学的全过程，为学生自己探索发现等比数列的有关知识营造了良好的氛围，体现了数学发现的本质，培养了学生合情推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式及勇于探索的创新意识等个性品质。

需要注意的是：只有充分考察了学生的知识结构，才能通过引导学生进行知识的迁移、类比，引导他们发现知识之间的联系，从而使新知识有效地纳入学生的认知结构中，并逐步培养了学生的创新能力。