3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计(教案)

3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

【教学目标】

1.了解并熟记基本初等函数的导数公式。

2.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则。

3.能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数。 4.能够结合已学过的法则公式对一些简单复合函数求导。 5.加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括. 【教学重点】

1.熟记基本初等函数的导数公式表。

2.掌握和、差、积、商的求导法则。

【教学难点】

1.导数运算法则相互之间的联系及运算法则的运用。

2.简单复合函数求导。 【学情分析】：

上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算yc,yx,yx2,y1,yxx这五个常见函数的导数,学生对函数求导有了初步的认识.本节将继续介绍基本初等函数的导数公式和导数的和差积商运算法则. 【教学过程】

教学环节

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教学活动

设计意图

淡化证明，直接给出公式. 一、可以直接使用的基本初等函数的导数公式

讲授新课

公式1.若f(x)c,则f'(x)0;公式2.若f(x)xn,则f'(x)nxn1;公式3.若f(x)sinx,则f'(x)cosx;公式4.若f(x)cosx,则f'(x)sinx;公式5.若f(x)ax,则f'(x)axlna(a0);公式6.若f(x)e,则f'(x)e;1公式7.若f(x)logax,则f'(x)(a0,且a1);xlna1公式8.若f(x)lnx,则f'(x);x

练习1、求下列函数的导数。(1) y= 5(2) y= x 4xx

让学生熟记基本初等函数的导数公式，并能熟练应用

(3) y= x -2(4)y= 2 x(5)y=log3x

导数的

四则运算

二、导数的四则运算公式：

法则介绍并解释。

'1.[f(x)g(x)]'f'(x)g'(x)；

2.fxgxf''xgxfxgx；

f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)3.[](g(x)0)2g(x)[g(x)]

老师与同学一块利用导数定义证明和差的导数运算法则，再让学生课后思考怎样来证明积、商的导数四则运算法则。

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数yx32x3的导数。

2：求下列函数的导数：

练习5322熟练掌握导数运算法并灵活应用. 导数的乘、除运算比较容易出(1)y

＝x－3x－5x＋6；

(2)y＝(2x＋3)(3x－2)；

错，要强调，引x－1(3)y；

(4)y＝x·tan x.

＝起注意。

x＋1

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让学生亲自动手,或板演,或提问.老师点评。

yx三、知识拓展

1.复合函数概念 一般来说,对于两个函数y=f(u) 和u=φ(x) ,给定 x一个值,就得到了u 的值,进而确定了y的值,这就确定了一个新的函数,一般形式是

直接给出定义，并与基本初等y=f(φ(x)),其中u称为中间变量,我们称它为复合函数,把函数f(u) 叫函数相区别和做外层函数,函数φ(x) 叫做内层函数。

例1.写出由下列函数复合而成的函数：

知识拓展

复合函数求导

探究：y=sin2x求导？

方法一：

一方面：ysin2x2sinxcosx运用积的运算法则求导。

另一方面：联系。

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数（1）ycosu，u1x2；

（2）ylnu，ulnx。

例2.试说明下列函数是怎样复合而成的？

（1）y(2x2)3；

（2）ysinx2；

将函数看作是函数ysin2x和函数等。

ysinuu2x分解求导复合函数，并分别求对应变量的导数如下：(sinu)cosuyu两个导数相乘，得ux(2x)2相2cos2x乘回代uyuu)2x(cos从而有y'xy'uu'x

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归纳：

2.复合函数的导数 设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ' (x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f' (u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y'x=y'u u'x 或f'x(φ(x))=f' (u) φ' (x)． 3.复合函数的求导法则

复合函数的导数

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 4.复合函数求导的基本步骤是：

分解——求导——相乘——回代．

例3.求下列函数的导数：

（1）y(2x3)2；

两种方法作对照与比较，体会不同的解决方法与策略。鼓励学生模仿22(2) ysinx2对于（1）①能否用学过四则运算解决问题？

②新方法：将函数y(3x2)看作是函数yu和函数u3x2复并及时修正。

(u2)2u，u合函数，并分别求对应变量的导数如下：yux(3x2)3两个导数相乘得yu'ux'2u323x2318x12， 从而有y'xy'uu'x 点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。

（1．熟记基本初等函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的求导公课堂小结

作业布置

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式；

2．会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数。

3.复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导。

课本P85 4、5、7

教后反思：

本节课成功之点：

通过对公式的讲解学生运用的还可以，还结合定义给出函数和的导数法则的证明，最课后反思

后还让学生了解了简单的复合函数求导。

通过上述的教学过程，让学生自己发现运算法则特点，总结出求导公式，培养了学生观察——归纳——抽象的数学思维方法。

不足之处：

学生做练习的时间太短，对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。

练习与测试： 1．填空：

1x2( )sinx(1x2)( )x( )(x21)x( )(1)(2；(2)(

))2222sinx4sinxx1(x1)2．求下列函数的导数：（1）y=axx2 （2）y= 2ax3x（3）y=tanx （4）y=

1

（5）yex1cosx3．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正。

1cosx2x(1cosx)x2sinx

()2xx21x24．求y=的导数。

sinx5、已知函数f（x）=x（x+1)（x+2）…(x+n)，求f＇（0）的值。

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