3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案内容

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

一、

教材地位与作用

本章将在平面直角坐标系中研究直线的相关问题，包括直线的位置关系、直线的方程等，将几何问题转化为代数问题来研究，而直线的倾斜角与斜率是高中解析几何的开端，它是后续研究直线的方程等代数问题的基础，它是确定平面直角坐标系中一条直线位置的必不可少的要素。

二、

学情分析

学生在此之前已经知道了两点确定一条直线的道理，在初中时也学习过了正切，这些都为下面的学习奠定了基础，但是要理解好倾斜角与斜率的概念，则要求学生在实际生活中有较好的观察能力，要能够找到实际生活中的例子来理解概念，只有理解好概念，就不难得出直线的斜率公式。

三、

教学目标

（一）

知识与技能

理解直线的倾斜角与斜率的相关概念，明确确定直线的几何要素，能够探究得出直线的斜率公式，会应用直线的斜率公式来解决一些问题。

（二）

过程与方法

经历确定一条直线的位置以及探究直线斜率公式的过程，体验在此过程中几何问题与代数问题的奇妙转化，感受数学的代数美。

（三）

情感态度价值观

通过本节课的学习，培养探究精神，提高实践能力，培养数形结合、转化、分类讨论的数学思想方法。

四、

教学内容

（一）

教学重点

直线的倾斜角的概念、确定直线的几何要素、直线的斜率的概念、直线的斜率公式、直线斜率的应用。

（二）

教学难点

直线的倾斜角与斜率的概念以及直线的斜率公式。

（三）

教学关键

通过日常实例来帮助学生理解直线倾斜角与斜率的概念，通过数形结合来探

1

究直线的斜率公式。

五、

教学过程

教学过程分成以下五个主要环节：课题引入——探索新知——应用新知——巩固新知——课堂小结，具体教学环节如下：

（一）

课题引入

教师引导语：同学们，前面两章分别学习了空间几何体和点、直线、平面之间的位置关系等几何问题，那么从本章开始，我们来探讨研究几何图形性质的另一种方法：坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。请同学们带着以下几个问题来学习本节课的内容：

（1）

在平面直角坐标系中，直线如何表示？

（2）

确定直线位置的几何要素有哪些？

（3）

在坐标系中如何刻画直线的几何要素？

（二）

探究新知

1．问题引导，引出概念

设计意图：通过一系列的问题来获得直线的倾斜角、斜率的概念。

（1）直线的倾斜角的概念：

问题1：平面直角坐标系内直线的位置由哪些条件确定？

学生的回答可能是两个点确定一条直线，那么这个时候教师继续提问，给出问题2。

问题2：一个点能否确定一条直线？已知直线l经过点P，直线l的位置能确定吗？

yoPx

2

这个时候用几何画板演示过一点P的几条直线，让学生更加清楚地看到，经过一个点的直线有无数条，单独一个点并不能确定一条直线的位置。接着再让学生认真观察这些直线，看看它们的区别在哪里。大部分学生可以回答出它们的倾斜程度不同，接下来给出问题3。

问题3：怎样描述直线的倾斜程度？

学生可能会从夹角的角度来描述倾斜程度，但如果学生此时不知如何入手描述直线的倾斜程度的话，教师应该提醒学生从夹角的角度来描述。课件上给出了如下图所示的直角坐标系中的一条直线，这条直线与x轴和y轴共有8个夹角，分别是1至8，那么我们应该以那个夹角来描述直线的倾斜程度呢？此时学生有不同的意见，没有对错之分，那么为了用一种统一的方法来表示倾斜程度，我们引出了直线的倾斜角的概念：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

y54321–6–5–4–3–2–1a6oa2a1–1–2–3a71a3a52a4345xa8–4–5–6

问题4：直线的倾斜角的取值范围是多少？

在同一直角坐标系中给出几条直线，它们的倾斜角分别是锐角、钝角、与x轴平行和重合。当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角是0°，那么由倾斜角的概念知直线的倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.

3

y4321βα–4–3–2–1o1234x–1–2–3–4

这样，平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，并且倾斜程度相同的直线，倾斜角也相等；倾斜程度不同的直线，倾斜角也就不相等。也就是说，我们可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内直线的倾斜程度。

问题5：确定直线位置的几何要素有哪些？

我们知道，两点可以确定一条直线，但是一个点是不能确定一条直线的，那么只给出直线的倾斜角，能否确定一条直线呢？答案也是否定的。如果给出直线上的一点和这条直线的倾斜角，就可以惟一确定一条直线。那么，确定直线位置的几何要素可以是：

①已知直线上的两点；

②已知直线上的一点和它的倾斜角。

y54321–5–4–3–2–1o–1–2–3–4–512345x

4

（2）直线斜率的概念：

问题6：日常生活中还有哪些量可以用来表示倾斜程度的？

此时引出爬山的例子，对于斜坡的倾斜程度，我们可以用什么量来表示？学生可能会用“坡度”这个量来衡量倾斜程度，如果学生未能答出，教师应该向学生说明：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”来表示倾斜面的“坡度”，即

坡度（比）升高量

前进量此时让学生意识到，其实“坡度”就是“倾斜角α的正切”，这是我们从直角三角形的角度可以看出的，为了让学生更好地理解这一点，用几何画板来演示是最清晰的。当改变坡面的倾斜角时，坡度在发生变化，倾斜角的正切值也在变化，并且坡度和倾斜角的正切值一直保持一致。

接下来我们给倾斜角的正切值命个名字——斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。斜率通常用小写字母k表示，即ktan

问题7：当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率有怎样的特点呢？直角和钝角呢？

首先让学生分别求出倾斜角为30°、45°、60°、90°、120°、135°以及150°的直线的斜率，让他们从这些特殊角出发，发现它们的特点。在这里给出一个公式tan180tan（是锐角），方便学生求出钝角的正切值。学生会得出以下结论：倾斜角为30°、45°、60°的直线的斜率是正数，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为120°、135°、150°的直线的斜率是负数。接下来是对于一般的角度，所对应直线的斜率有什么特点，此时用几何画板演示，最后总结得出以下结论：

当倾斜角是锐角时，直线的斜率是正数；

当倾斜角是直角时，直线的斜率不存在；

当倾斜角是钝角时，直线的斜率是负数。

倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

2．逐步探究，获得公式

5

设计意图：通过引导探究、几何画板演示来获得直线的斜率公式，同时让学生体验数形结合思想在解析几何中的应用，培养探究能力。

在直角坐标系中，我们可以用坐标来表示点，那么如果给出两点的坐标，应该如何求出已知两点所在直线的斜率？

问题8：给点两点P1x1,y1,P2x2,y2,x1x2，求出直线P1P2的斜率k. 首先让学生自己动手画出坐标图，探究直线P1P2的斜率k可以用两点的坐标如何表示，然后提问学生，让学生展示探究结果，并让他们说说在探究过程中所遇到的难题，教师给予解答。接下来教师通过几何画板来展示直线斜率公式的获得过程，让学生更加清晰地看到探究过程，加深对直线斜率公式的理解。此处分四种情况讨论，在课堂上只讲两种情况，剩下的两种情况让学生在课余时间自行探究。探究得出的初步结论是：直线的斜率公式是k考问题9. 问题9：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子是否成立？

此时让学生回答，然后肯定这种情况，分析成立的原因是分子为0，分母不为0，此时斜率是0.

最后归纳总结出经过两点P1x1,y1,P2x2,y2,x1x2的直线的斜率公式是

y2y1。接下来让学生思x2x1ky2y1

x2x1另外，在让学生思考问题10和问题11. 问题10：已知直线上两点Aa1,a2,Bb1,b2，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点的坐标顺序有关吗？

在这里，由于kABb2a2ab2，则可得结论是：直线AB的斜kBA2b1a1a1b1率与A，B两点的坐标顺序无关。

问题11：当直线平行于y轴或与y轴重合时，这个公式适用吗？为什么？

此时分母为0，故不适用，这与倾斜角是90°的直线没有斜率是一致的。

6

（三）

应用新知

设计意图：通过两个应用直线的斜率及其公式的例题，加强学生对直线的斜率及其公式的应用，深化对刚学习知识的理解，做到学以致用。

例题1：如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

y864B2–6–4–2oA–82C468x–2–4–6–8

解答：直线AB的斜率为kAB

直线BC的斜率为kBC

直线CA的斜率为kCA220

84221

0(8)22(2)1

40

由kAB0知直线AB的倾斜角是零度角，即直线与AB与x轴平行；

由kBC10知直线BC的倾斜角是钝角；

2

由kCA10知直线CA的倾斜角是锐角。

此例题旨在考查学生对直线斜率公式的应用，并且会根据直线的斜率判定直线倾斜角是什么角。

例题2：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线. 分析：要画出过原点的直线，只须再找出位于直线上的另一个点，这个点的坐标可以由直线的斜率来确定。

本例题旨在让学生体验数形结合的思想方法．熟练应用直线的斜率公式。

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（四）

巩固新知

设计意图：通过几道练习题巩固学生对刚学习知识的应用，考察学生对新知识的掌握情况。学生动手完成课本第86页练习的第1至4题。

（五）

课堂小结

设计意图：总结本节课所学习的知识，让这些新知识在学生的头脑中再过一遍，最后布置作业。

（1）

直线的倾斜角的概念；

（2）

直线的斜率的概念；

（3）

直线的斜率公式；

（4）

数形结合的数学思想方法

作业：第89页习题3.1A组的第2至5题. 六、

板书设计

§3.1.1倾斜角与斜率

1.

倾斜角的概念

6.直线的斜率公式

屏幕

例题分析

2.

倾斜角的取值范围

公式推导过程

0°≤＜180°

3.

确定一条直线的几何要素

4.

直线的斜率的概念

5.

不同类型倾斜角相应

直线斜率的特点

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