3.1.1 变化率问题优质课教案设计

《变化率问题》教学设计

一.内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气温平均变化率问题、气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.目标和目标解析

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

三.教学问题诊断分析

运动速度是学生非常熟悉的物理知识，吹气球是很多人具有的生活经验，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

四.教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。 1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过吹气球与函数图象的同步演示让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五.教学过程设计

一、

情景引入

1.

问题引入

1）求下列图中阴影部分面积.

2)求函数yxlnx,x(0,4]的最小值. 设计意图：

学生利用已学知识无法解决以上两个问题，引发学生的认知冲突。激发学生的学习兴趣。

2.数学史 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。

设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。让学生了解数学史、重视数学史，同时引出课题。

二、概念形成：

(一)问题呈现

问题1 气温平均变化率

小明把某市2016年3月18日到4月20日的日最高气温

用气温曲线图绘制如下：（以3月18日作为第1天）．

（1）A,B,C三点坐标分别表示什么意思？

（2）当时间从第1天到第31天，从第31天到第34天时，

温度平均变化率分别是多少？

师生活动：学生口答结果。老师同时说明温度平均变化率可用温度增量与时间增量之比表示。（板书：33.518.518.53.5，）

3431311设计意图：从具体的数据出发，体现从特殊到一般的数学思想。

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t6.5t10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么

2

（1）在0t0.5这段时间里，v=

（2）在1t2

这段时间里，

v= 设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：学生先计算，请一个学生上台展示（1）（2）答案，并讲解。教师播放多媒体。

思考1:当时间从t1增加到t2时, v= 师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。老师强调从t1增加到t2这段时间里的平均速度为这个时间段内的高度增量与时间增量的比值。引导学生得出平均速度为：函数值的增量（为定义作铺垫）

自变量的增量设计意图：把问题中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

问题3 气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 我们把半径的增加量与体积的增加量之比就叫做气球的平均膨胀率。

师生活动：老师引导要从数学角度研究这一现象，就是需要找出r与V的关系，我们把气球近似的看成球体。那么r与V的关系是什么？

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)___________

如果将半径r(单位:dm)表示为体积V(单位:L)的函数,那么r(V)____________

师生活动：演示动画，一边模拟吹气球，一边让函数r(V)33V图象随着呈现出来。

4让学生观察动画，谈谈发现了什么？观察动画后，学生很直观形象地发现随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢。我们从形上直观的感受了这一现象，如何用数来刻画呢？

请大家完成下面的习题。

空气容量v(L) 气球半径（dm）

（参考值：30

31

2

33

30.62460.78490.89）

4

(1)V从0L增加到1L气球平均膨胀率为

(2)V从1L增加到2L气球平均膨胀率为

(3)V从2L增加到3L气球平均膨胀率为

师生活动：学生说出（1）（2）（3）对应的气球平均膨胀率分别为0.62（dm/L）0.16（dm/L）

0.11（dm/L）.发现越来越小，从数学的角度解释了问题3中的现象。

思考2：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是 师生活动：学生口答结果。强调容量从V1增加到V2的气球平均膨胀率为相应的半径增量与体积增量的比值。引导学生得出平均膨胀率为：函数值的增量（为定义作铺垫）

自变量的增量教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师利用课件或板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。

回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

师生活动：引导学生得出三个问题的共同点：式子都是（二）定义

学生归纳定义: 函数值的增量的形式。

自变量的增量fx2fx1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率:

x2x1设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

师生活动：老师指出xx2x1,yfx2fx1

（x是一个整体符号，而不是与x的相乘）

则平均变化率可表示为：二、

概念巩固

例题：已知函数f(x)=4xx

（1）求f(x)从1到2的平均变化率；

（2）求f(x)从1到3的平均变化率. 师生活动：请一个学生上展台展示，老师点评。

2y

x

小结1：

（1）求y;求函数的平均变化率的步骤:（2）求x;（3）求y.

x变式1：从1到1＋x函数值的增量为多少？平均变化率为多少？

师生活动：请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。老师点评讲解（紧扣定义，巩固定义，同时提醒学生规范解题过程）

变式2：从x0到x0＋x平均变化率为多少？

设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂例题到变式1，再到变式2，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。让学生归纳出f(x)从x0到x0＋x平均变化率

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差 （2）作商

小结2：

函数f(x)从x0到x0x的平均变化率: 设计意图：加深对概念内涵的理解。

思考3：

观察函数yf(x)的图象，平均变化率yf(x0x)f(x0)（口答）

xxyf(x2)f(x1)的几何意义是什么？

=xx2x1

师生活动：通过观察图象，容易得出平均变化率yf(x2)f(x1)的几何意义是：

=xx2x1两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

四、总结深化

1、课堂小结：

（1）知识

（2）思想方法

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、函数平均变化率的几何意义、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

2、问题探究：计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：师生一起探究发现平均速度不能精确刻画物体的运动状态。

设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，引发认知冲突，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义。

五、课后作业

1．习题1.1Ａ组

第1题．

2.实习作业：收集牛顿与莱布尼茨的生平资料，以及他们创立微积分时所做的开创性工作；收集微积分创立的时代背景与历史意义的有关材料。

设计意图：及时巩固新知识，让学生收集资料，了解数学史，关心数学史，激发学生的学习兴趣同时，扩大了学生的知识面，有利于学生树立更远大的目标。