复习参考题名师课堂实录

刘烈文数学名师工作室

第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

x2y21．(2016·课标全国乙)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离m＋n3m－n为4，则n的取值范围是(

) A．(－1,3)

C．(0,3)

答案

A x2y2解析

∵方程2－2＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1

故选A. x2y22．(2016·天津)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆4b与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(

) x23y2A.－＝1

44x2y2C.－＝1

44答案

D b解析

由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，

2x24y2B.－＝1 43x2y2D.－＝1 412B．(－1，3) D．(0，3)

x＋y＝4，联立b

y＝x，222

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x＝解得y＝42，4＋b2b，4＋b2

x＝或y＝－44＋b－2b2，，4＋b2

42b，即第一象限的交点为. 4＋b24＋b2由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为2b，得b2＝12. x2y2故双曲线的方程为－＝1.故选D. 412x2y23．(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1ab1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(

) 33A.2

B.

C.3

D．2 2答案

A b2解析

如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝. a8×4b84b，，故＝4＋b24＋b24＋b2

1|MF1|1又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|. 3|MF2|32b2由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，

a所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，

c所以离心率e＝＝2. a4．(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

答案

9 解析

抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.

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1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.

热点一

圆锥曲线的定义与标准方程

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．

例1

(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为(

) x2y2A.＋＝1(y≠0)

169y2x2C.＋＝1(y≠0)

169y2x2B.＋＝1(y≠0) 259x2y2D.＋＝1(y≠0) 259x2y2(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，259则sin A＋sin C＝________. sin B5答案

(1)D

(2)

4解析

(1)∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点x2y2的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D. 259(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆sin A＋sin C|BC|＋|BA|105定义知|BA|＋|BC|＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，＝＝＝. sin B|AC|84思维升华

(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．

跟踪演练1

(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为(

)

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x2y2A.－＝1

927y2x2C.－＝1

1224y2x2B.－＝1 927y2x2D.－＝1 2412(2)抛物线y2＝4x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

答案

(1)B

(2)3 解析

(1)由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)，

∵双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，

y2x2∴c＝6，设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，aba3∴＝，即b＝3a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，

b3y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1.故选B. 927(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x1＋1＋x2＋1＝8，∴x1＋x2＝6. ∴线段AB的中点到y轴的距离为3.

热点二

圆锥曲线的几何性质

1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

c(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝

ac(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ab1－2；

ab1＋2. ax2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．

abax2y2例2

(1)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(xab＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

x2y2(2)已知双曲线2－2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双ab曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(

) A．y＝±3x

C．y＝±(3＋1)x

答案

(1)3－1

(2)C 解析

(1)直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，

B．y＝±22x

D．y＝±(3－1)x

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2c2c所以该椭圆的离心率e＝＝＝3－1. 2ac＋3c(2)由题意作出示意图，

ab易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，

bc又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得

|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，

|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，

222b4a＋4c－16abbb故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋3，

caaa2×2a×2c故双曲线的渐近线方程为y＝±(3＋1)x. 思维升华

(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．

(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．

x2y2跟踪演练2

(1)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，abPF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为(

) A.3113

B.

C.

D.

6323x2y2(2)(2015·重庆)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂ab线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(

) A．(－1,0)∪(0,1)

C．(－2，0)∪(0，2)

答案

(1)D

(2)A 解析

(1)因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，

所以|PF2|＝2c·tan 30°＝2343c，|PF1|＝c. 33B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

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又|PF1|＋|PF2|＝63c13c＝2a，所以＝＝，

3a3即椭圆C的离心率为33. (2)由题作出图象如图所示．

x2y2由a2－b2＝1可知A(a,0)，F(c,0)．

22易得Bc，bab，Cc，－a. b2ab2∵kAB＝c－a＝ac－a，

∴k＝aa－cCDb2. b2kab2∵AC＝a－c＝aa－c，

∴kaa－cBD＝－b2. ∴lb2aa－cBD：y－a＝－b2(x－c)，

即y＝－aa－caca－cb2b2x＋b2＋a，

l＋b2aa－ca＝CD：yb2(x－c)，

即y＝aa－caca－2cb2b2x－b－a. xb4∴D＝c＋a2a－c. 4∴点D到BC的距离为ba2a－c. b4∴a2c－a

∴b4

∴a2>b2，∴0

3

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热点三

直线与圆锥曲线

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法

(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

x2y2例3

(2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心ab2a2率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3. 2c

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．

c2a2解

(1)由题意，得＝且c＋＝3，

a2c解得a＝2，c＝1，则b＝1，

x22所以椭圆的标准方程为＋y＝1. 2(2)当AB⊥x轴时，|AB|＝2，又|CP|＝3，不合题意．

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程代入椭圆方程，

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，

2k2±21＋k2则x1,2＝，

1＋2k22k，－k，且

C的坐标为221＋2k1＋2k221＋k2|AB|＝x2－x1＋y2－y1＝1＋kx2－x1＝. 1＋2k222222若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意．

从而k≠0，故直线PC的方程为

2k2k1y＋＝－x－1＋2k2，

k1＋2k2

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5k＋2－2，则P点的坐标为，

k1＋2k223k2＋11＋k2从而|PC|＝. |k|1＋2k2因为|PC|＝2|AB|，

23k2＋11＋k2421＋k2所以＝，

|k|1＋2k21＋2k2解得k＝±1. 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1. 思维升华

解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

跟踪演练3

(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(

) 11A．[－，]

22C．[－1,1]

B．[－2,2]

D．[－4,4]

2x2y2x(2)设椭圆C：＋＝1与函数y＝tan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且434直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．

33答案

(1)C

(2)[，] 84解析

(1)由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q(－2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直y＝kx＋2，线l的方程为y＝k(x＋2)，由2得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，

y＝8x，

当k＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，

即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k<0或0

综上，k的取值范围为[－1,1]，故选C. x21(2)由题意，得A1，A2两点关于原点对称，设A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)，则有＋42y2x23310y0222＝1，＋＝1，即y21＝(4－x1)，y0＝(4－x0)，

34344y0＋y13x0－x131两式相减整理，得＝－·＝－·. 4y0－y14kx0＋x1PA1因为直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，

y0＋y1所以－2≤≤－1，

x0＋x1

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3133所以－2≤－·≤－1，解得≤kPA1≤. 4k84PA1

x2y21．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线3x＋6y＋3＝0垂直，以C的ab右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为(

) A．1

B．2

C.5

D．25 押题依据

圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．

答案

D b解析

由直线垂直的条件，求出渐近线的斜率，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的a距离等于半径，求得b，进而求出焦距2c. b3b6由已知，得·(－)＝－1，所以＝，

aa366x的距离d＝36c3由点F(c,0)到渐近线y＝＝2，可得c＝5，2c＝25，故选62＋－123D. x2y2132．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．

ab22(1)求椭圆C的方程；

62(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆7心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

押题依据

椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．

c1解

(1)由题意可得e＝＝，

a2又a2＝b2＋c2，

3所以b2＝a2. 43因为椭圆C经过点(1，)，

2941所以2＋＝1，

a32a4

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解得a＝2，所以b2＝3，

x2y2故椭圆C的方程为＋＝1. 43(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，

x＝ty－1，22由xy消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，

4＋3＝1显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6t9则y1＋y2＝，yy＝－，

4＋3t2124＋3t2所以|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2

＝

12t2＋136t236＋＝，

4＋3t224＋3t24＋3t2

6t2＋1621所以S△AOB＝·|FO|·|y1－y2|＝＝，

2174＋3t2化简得18t4－t2－17＝0，

即(18t2＋17)(t2－1)＝0，

172解得t2＝1，t＝－(舍去)，

1218|0－t×0＋1|1又圆O的半径r＝＝，

1＋t21＋t2所以r＝21，故圆O的方程为x2＋y2＝. 22

A组

专题通关

x2y21．点F为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么ab椭圆的离心率为(

) A.C.2

22－1

2B.3

2D.3－1 答案

D 解析

如图所示，设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限，由已知得直线OA的斜率为k＝tan 60°＝3，

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c3∴点A的坐标为，c. 22c232c44∵点A在椭圆上，∴2＋2＝1，

abc23c2即2＋2＝1. 4a4b∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，

又∵b2＝a2－c2，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，

∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4±23，

又∵e∈(0,1)，∴e＝3－1.故选D. x2x2222．(2016·浙江)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞0)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，mne2分别为C1，C2的离心率，则(

) A．m＞n且e1e2＞1

C．m＜n且e1e2＞1

答案

A 解析

由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，

又∵m＞0，n＞0，故m＞n. m又∵e2e21·2＝2B．m＞n且e1e2＜1 D．m＜n且e1e2＜1 －1n2＋1n2＋1n2＋1·2＝2·2

m2nn＋2nn4＋2n2＋11＝4＞1，∴e1·e2＞1. 2＝1＋4n＋2nn＋2n2x223．已知双曲线C：－y＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支3相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为(

) 163A.

3143C.

3答案

A x22解析

因为双曲线C：－y＝1，

3所以a＝3，b＝1，c＝a2＋b2＝2，

B．53 D．43

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故F1(－2,0)，F2(2,0)．

由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴．

413令x＝2，则有y2＝－1＝，即y＝±. 333故|QF2|＝|PF2|＝32，|PQ|＝3，

3373. 3|QF1|＝|PF1|＝|PF2|＋2a＝则△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ| ＝737323163＋＋＝.故选A. 33334．设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(

) A．4＋3

2B．7 D．10 C．4＋23

答案

B p解析

由题意，|MF|的最小值为3，∴＝3，

2∴p＝6，∴抛物线E：y2＝12x，

抛物线y2＝12x的焦点F的坐标是(3,0)；

设点P在准线上的射影为D，

则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，

∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，为4－(－3)＝7，故选B. x2y25．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交ab点为P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为(

) A.3

C.6

答案

A 解析

∵抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，

x2y2∴双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点F的坐标为(2,0)，∴c2＝a2＋b2＝4.①

ab∵P是两曲线的一个交点，且|PF|＝5，

∴xp＋2＝5，∴xp＝3，∴y2p＝24. B．2 D．3

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x2y2∵P(xp，yp)在双曲线2－2＝1上，

ab924∴2－2＝1.②

aba＋b＝4，联立924

解得a2＝1，b2＝3. a2－b2＝1，y2∴双曲线的方程为x－＝1. 3222

又双曲线的渐近线方程为y＝±3x，

∴点F(2,0)到渐近线的距离为3. x2y26．已知点A(2,4)在抛物线y＝2px(p>0)上，且抛物线的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的ab2一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．

y2答案

x－＝1 32解析

∵点A(2,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，

∴16＝4p，解得p＝4. ∴抛物线的准线方程为x＝－2. x2y2c又抛物线的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，∴c＝2，又e＝＝2，

aba∴a＝1，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，

y2∴双曲线的方程为x－＝1. 327．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．

x2y2答案

＋＝1 2516解析

两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；

O2(3,0)，r2＝9. 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，

可得|MO1|＝R＋1，|O2M|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6. 由椭圆的定义知点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且2a＝10,2c＝6，∴b2＝16. x2y2∴动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 2516x2y28．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，54则△AOB的面积为________．

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5答案

3解析

由已知得直线方程为y＝2(x－1)．

y＝2x－2，由2得3y2＋2y－8＝0，

24x＋5y－20＝0，

28设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，

33∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝1105∴S△AOB＝×1×＝. 233x2y21y229．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x＝1的焦点ab22重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．

(1)求椭圆C的方程；

→→(2)求OA·OB的取值范围．

y22解

(1)由双曲线－x＝1得其焦点为(0，±3)，

2c1∴b＝3.又由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝4，c＝1. a2x2y2故椭圆C的方程为＋＝1. 43(2)由题意可知直线l的斜率存在，

y＝kx－4，22设直线l的方程为y＝k(x－4)，由xy消去y，

＋＝1，43得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，

由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0，

1得k2<. 4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

64k2－1232k2则x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋3∴y1y2＝k2(x1－4)(x2－4) ＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，

2287→→264k－12232k∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)·2－4k·2＋16k2＝25－2. 4k＋34k＋34k＋343210＋＝，

933

18787∵0≤k2<，∴－29≤－2<－，

444k＋3

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13→→∴OA·OB∈[－4，)．

413→→故OA·OB的取值范围为[－4，)．

410.如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，动点T(－1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.

(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；

(2)若m＞0且|NF|＝|TF|，求m的值及点N的坐标．

－m(1)证明

易知抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，动点T(－1，m)在准线上，则kTF＝. 2当m＝0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上．

y＝4x，22当m≠0时，由条件知kPQ＝，所以直线PQ的方程为y＝(x－1)，联立得2mmy＝x－1，mx2－(2＋m2)x＋1＝0，又Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)＞0，

2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1＋x2＝2＋m2，y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m.所以弦PQ的中点m2＋m2N(，m)，又T(－1，m)，知kNT＝0，则NT平行于x轴．

2综上可知线段NT平行于x轴(或在x轴上)．

|NF|(2)解

已知|NF|＝|TF|，在△TFN中，tan∠NTF＝＝1⇒∠NTF＝45°，

|TF|设A是准线与x轴的交点，则△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2，

又动点T(－1，m)，其中m＞0，则m＝2. 因为∠NTF＝45°，所以kPQ＝tan 45°＝1，又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为y＝x－1，由m＝2得T(－1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，设N(x0，y0)，则y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3，所以N(3,2)．

B组

能力提高

x2y211．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆25162

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的周长等于3π，则满足条件的点M有(

) A．0个

C．2个

答案

C x2y2解析

由椭圆方程＋＝1可得a2＝25，b2＝16，

2516∴a＝5，b＝4，c＝3. 由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6，

∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16. 设△MF1F2的内切圆的半径为r，

3由题意可得2πr＝3π，解得r＝. 2设M(x0，y0)，

则S1＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r

MF1F22B．1个

D．4个

1131＝|F1F2|·|y0|，即×16×＝×6·|y0|，

2222解得|y0|＝4.∴y0＝±4. ∴M(0,4)或(0，－4)．

即满足条件的点M有2个．故选C. a2x2y212．已知圆x＋y＝上点E处的一条切线l过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且16ab22→1→→与双曲线的右支交于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是______________．

2答案

26

4解析

如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，

a由题意可知|OE|＝，

4→1→→由OE＝(OF＋OP)，

2可知E为FP的中点．

由双曲线的性质，可知O为FH的中点，

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1所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，

2a故|PH|＝2|OE|＝. 25a由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)，所以|PF|＝2a＋|PH|＝. 2因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE. 又OE∥PH，所以PF⊥PH. 在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2，

a5a即(2c)2＝()2＋()2，

22c2626整理得＝，即e＝. a44x2y213．经过椭圆＋＝1的右焦点的直线l交抛物线y2＝4x于A、B两点，点A关于y轴的对43→→称点为C，则OB·OC＝________. 答案

－5 x2y2解析

由椭圆＋＝1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线43l的方程为x＝my＋1. y2＝4x，由得y2－4my－4＝0，

x＝my＋1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4，

2y21y2∴x1x2＝·＝1. 44→→由题意知C(－x1，y1)，∴OB·OC＝(x2，y2)·(－x1，y1)＝－x1x2＋y1y2＝－1－4＝－5. 14．已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e＝1. (1)求椭圆C的标准方程；

(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°. x2y2(1)解

依题意，设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，

c2由e＝＝，得a＝2c.①

a2→→由AF·BF＝－1，

2→→，右焦点为F，且AF·BF＝－2

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得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②

联立①②，解得a＝2，c＝1，

所以b2＝1，

x22故椭圆C的标准方程为＋y＝1. 2(2)证明

设P(x1，y1)，N(x2，y2)，

由题意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)，

且x1≠x2，

又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)．

由Q，M，N三点共线，知kQM＝kQN，

y1y2＋y1所以＝.③

2x1x2＋x1y1y2－y1又kPQkPN＋1＝·＋1.④

x1x2－x12222y2＋y1y2－y1x22＋2y2－x1＋2y1把③代入④，得kPQkPN＋1＝·＋1＝.⑤

2x2＋x1x2－x1x22－x1因为点P，N在椭圆上，

222所以x21＋2y1＝2，x2＋2y2＝2，⑥

把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝2－22＝0，

x22－x1即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90°.