习题1.2第一课时教学实录

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二

充分必要条件的判定|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识]

1．充分条件与必要条件的相关概念

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．

2．从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．

[提醒]

充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

[典题例析]

1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，

1

“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q⇒/

p，所以p是綈q的充分不必要条件．

[类题通法]

充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．

[提醒]

区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．

[演练冲关]

1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，

q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，

∵AB，∴p是q的充分不必要条件．

π2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)2是偶函数，则p是q的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

π解析：选A

当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；2π若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的2必要条件，故p是q的充要条件，故选A. 考点三

充分必要条件的应用|(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变]

[典型母题]

2

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]

由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 当S＝∅时满足S⊆P，则1－m＞1＋m.∴m＜0. 1－m≤1＋m，当S≠∅时，则1－m≥－2，1＋m≤10，

∴0≤m≤3. 综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是(－∞，3].

[题点发散1]

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[题点发散2]

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S⇒/P.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

1－m≤－2，1－m＜－2，∴或

1＋m＞101＋m≥10.

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

[类题通法]

利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：

(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；

(2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；

(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.

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