3.4 生活中的优化问题举例第一课时导学案

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月 日

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课型

新授课

主备人

乔

楠

使用人

课题

3.4生活中的优化问题举例

教学际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实际问题确定函数yf(x)的定义域；

目标

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 教学求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去

重点

教学在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得难点

到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值

课前多媒体课件

准备

一、【创设情境】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利

用导数，解决一些生活中的优化问题．

二、【新课讲授】

【例题1】

海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向

2张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何

设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

2x512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S(x)<0；当x(16,)时，S(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，

宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【思考】在课本例1中，“x16是函数Sx的极小值点，也是最小值点。”为什么？

是否还有别的解法？

1 ''

【探究】在实际问题中，由于f'x=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小

）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

由课本例1可得，S(x)4x256x824x256x8232872。

当且仅当4x256x,即x8(x0)时S取最小值，此时y=128816。

【例题2】

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值. 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

yfr0.2432r323r0.8r0.83r,0r6

令fr0.8(r22r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子

的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

三、变式训练

1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件) 与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为________元时

利润最大,利润的最大值为________元.

四、【课堂小结】

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数

往往是一个有利的工具。

2

五、【书面作业】

课本P104 5，6

六、【板书设计】

七、【教学后记】

1.

2.

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