小结教学设计一等奖

第7讲

立体几何中的向量方法(二)——求空间角

最新考纲

1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

知

识

梳

理

1．空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos |m1·m2|θ＝__|cos〈m1，m2〉|＝．

|m1|·|m2|(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所

|m·n|成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|＝|m|·|n|．

(3)求二面角的大小

(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB，CD〉．

→→

(ⅱ)如图②③，n1，n2

分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

2．点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，|AB·n|则B到平面α的距离d＝|n|．

→

诊

断

自

测

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×) ππ(4)两异面直线夹角的范围是0，，直线与平面所成角的范围是0，，二22面角的范围是[0，π]．(√) 2．(2015·泰安模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向1量，若

cos〈m，n〉＝－2，则l与α所成的角为(

) A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

1解析

设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－2，∴

sin θ＝| cos〈m，n〉1|＝2，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A. 答案

A 3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(

) 322223A.2

B.2

C.3

D.3

解析

如图建立坐标系．则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，

D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，

设平面A1BD的法向量

→n·DA1＝0，n＝(x，y，z)，则

→DB＝0，n·→→

2x＋2z＝0，即令z＝1，得n＝(－1，1，1)．

2x＋2y＝0，|D1A1·n|223∴D1到平面A1BD的距离d＝|n|＝3＝3.

故选D.

答案

D 4．(2015·郑州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________．

解析

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量．

则n·A1B＝0，n·

A1C1＝0，

2y－z＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，

－x＋2y＝0，于是n＝(2，1，2)，D1C1＝(0，2，0)

1→设所求线面角为α，则sin

α＝|

cos〈n，D1C1〉|＝3. 1答案

3

5．(人教A选修2－1P106例2改编)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为__________．

解析

∵CD＝CA＋AB＋BD，

∴|CD|＝＝→→→→→→→→→→→→（CA＋AB＋BD）2

→→116＋2CA·BD

→→36＋16＋64＋2CA·BD＝＝217.

∴CA·BD＝|CA|·|BD|·

cos〈CA，BD〉＝－24.

1→→→→∴

cos〈CA，BD〉＝－2.而二面角与〈CA，BD〉互补，

→→→→→→

∴所求二面角为60 °.

答案

60 °

考点一

求异面直线所成的角

【例1】

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：

(1)△PCD的面积．

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

解

(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. 因为PD＝22＋（22）2＝23，CD＝2，

1所以△PCD的面积为2×2×23＝23. (2)法一

如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．

1在△AEF中，由于EF＝2，AF＝2，AE＝2PC＝2. π则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝4. π因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是4. 法二

如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，22，0)，

E(1，2，1)，AE＝(1，2，1)，BC＝(0，22，0)．

设AE与BC的夹角为θ，则

cos θ＝AE·BC|AE||BC|

图1

→→→→

图2

→→→→＝π42＝2，所以θ＝4. 2×22π由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4.

规律方法

本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝|AC·BD||AC||BD|【训练1】

如右图所示正方体ABCD－A′B′C′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°. 求DH与CC′所成的角的大小．

解

如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D－xyz，

则DA＝(1，0，0)，CC′＝(0，0，1)．

设DH＝(m，m，1)(m＞0)，

→→由已知，〈DH，DA〉＝60°

由DA·DH＝|DA|·|DH| ·

cos〈DH，DA〉，

2可得2m＝2m2＋1，解得m＝2，

→→→→. →→→→→→→→→→22∴DH＝，，1，

2222×0＋22×0＋1×12→→∵

cos〈DH，CC′〉＝＝2，

1×2→→∴〈DH，CC′〉＝45°，

即DH与CC′所成的角为45°. 考点二

利用空间向量求直线与平面所成的角

【例2】

(2014·北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，

H. (1)求证：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

(1)证明

在正方形AMDE

中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE. 又因为AB⊄平面PDE，

所以AB∥平面PDE. 因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG. (2)解

因为PA⊥底面ABCDE，

所以PA⊥AB，PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，→0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC＝(1，1，0)．

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则

→n·AB＝0，x＝0，即

→y＋z＝0.AF＝0，n·令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．

设直线BC与平面ABF所成角为α，

→n·BC→＝1. 则

sin α＝|cos〈n，BC〉|＝→2|n||BC|π因此直线BC与平面ABF所成角的大小为6. 设点H的坐标为(u，v，w)．

因为点H在棱PC上，所以可设PH＝λPC(0＜λ＜1)，

即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ. 因为n是平面ABF的法向量，所以n·AH＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. →→→

2422解得λ＝3，所以点H的坐标为3，3，3. 所以PH＝4222423＋3＋－3＝2. 

规律方法

利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

【训练2】

(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

(1)证明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD. (2)解

过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．

由(1)知AB⊥平面BCD，

BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y

轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，

11→→11→M0，2，2，则BC＝(1，1，0)，BM＝0，2，2，AD＝(0，1，－1)．

设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

x＋y＝0，→n·00BC＝0，则即1

1→y＋z＝0，BM＝0，2020n·→→→

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量为n＝(1，－1，1)．

设直线AD与平面MBC所成角为θ，

→|n·AD|6则

sin θ＝| cos〈n，AD〉|＝＝→3，

|n|·|AD|→6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为3. 考点三

利用空间向量求二面角

【例3】

(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；

(2)求二面角D－AF－E的余弦值．

(1)证明

∵ED⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴ED⊥AD. 又∵四边形ABCD为正方形，因此AD⊥CD. ∵ED∩CD＝D，

∴AD⊥平面CDEF. 由于CF⊂平面CDEF，

∴AD⊥CF. 又AF⊥CF，AF∩AD＝A. 故CF⊥平面ADF. (2)解

如图所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1. 由于∠DPC＝30°，PD⊥CD，所以PC＝2，PD＝3. 由于CF⊥FD，FE∥CD，

33所以

DF＝2，DE＝4，

3EF＝4. 从而D，A，C，F，E五点的坐标分别为

33D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，F，，0，

443E，0，0. 4→31→33计算得CF＝，－，0，FA＝－，－，1，

44443EF＝(0，4，0)．

设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则n1⊥EF，n1⊥FA，

y1＝0，因此

－3x1－3y1＋4z1＝0，取x1＝4，则n1＝(4，0，3)为平面AEF的一个法向量．

由于CF⊥平面ADF，

故平面ADF的一个法向量n2＝(3，－1，0)．

由图可见所求二面角θ的余弦值为

cos θ＝|n1·n2|43257＝＝. 22|n1||n2|1916＋3×（3）＋（－1）→→→规律方法

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

【训练3】

(2014·辽宁卷)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E－BF－C的正弦值．

(1)证明

由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，

3113－1，0)，C(0，2，0)．因而E0，，，F，，0. 2222→33→所以EF＝，0，－，BC＝(0，2，0)，

22因此EF·BC＝0.从而EF⊥BC，所以EF⊥BC. (2)解

平面BFC的一个法向量为n1＝(0，0，1)．

设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)，

→31→13又BF＝，，0，BE＝0，，. 2222→→→→→n2·BF＝0由得其中一个n2＝(1，－3，1)．

→n2·BE＝0设二面角E－BF－C大小为θ，且由题意知θ为锐角，则

cos θ＝| cos〈n1，n1·n21＝，

n2〉|＝|n1||n2|5因此

sin θ＝225＝5，

525即所求二面角的正弦值为5.

[思想方法] 1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．

2．合理建立空间直角坐标系

(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同．

(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．

(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．

[易错防范] 1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．

2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 课后作业：