3.1.3 空间向量的数量积运算评课稿

3.1.3

空间向量的数量积运算

教学目标

知识与技能

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．

过程与方法

1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；

2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．

情感、态度与价值观

1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2．培养学生空间向量的应用意识．

重点难点

教学重点：

1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．

教学难点：

1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；

2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．

教学过程

复习引入

→→1．

已知平面α内有两个非零向量a，b，在平面α内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做两个向量a，b的______，记作________．两个向量夹角的范围为：________.

2．

已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的_________，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律有：(1)交换律：_________；(2)分配律：____________________；(3)(λa)·b＝______＝______．

3．

a·b的几何意义:

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．

探究新知

提出问题：平面向量的数量积与空间向量的数量积有什么关系呢？

活动设计：教师指导学生由平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围进行类比得到结论．

活动成果：

→1．空间向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

2．空间向量a，b的夹角的取值范围：0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉＝〈b，a〉．当a，b同向共线时〈a，b〉＝0，当a，b反向共线时〈a，b〉＝π.

π3．两个向量垂直的定义：若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作：a⊥b. 2设计意图：通过回忆平面向量夹角的定义和取值范围类比得出空间向量夹角的定义和取值范围．

提出问题2：类比平面向量的数量积运算的定义，思考并尝试如何给空间向量定义数量积运算，并指出数量积运算满足怎样的运算律．

活动设计：学生自由发言；教师板书并请不同的同学进行补充．

活动成果：

1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；

2．规定零向量与任意向量的数量积为0；

3．两个向量的数量积满足的运算律：

(1)(λa)·b＝λ(a·b)；

(2)a·b＝b·a；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 设计意图：由平面向量数量积的定义和运算律引导学生类比得出空间向量数量积的定义和运算律. 4.两个向量的数量积运算的性质：

（1）若a·b＝|a||b|，则a，b同向；若a·b＝－|a||b|，则a，b反向；特别的a2＝|a|2，

∴|a|＝a2. （2）若a，b为非零向量，则a·b＝a⊥b.

（3）cos〈a，b〉＝a·b. |a||b|设计意图：由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好地理解数量积运算的定义．

运用新知

题型一：空间向量的数量积运算

例1. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是→→→→AB、AD的中点，计算(1)EF·BA；(2)EF·DC.

题型二：利用数量积求角

例2．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－ABCD中,AB=a,AD=b,AA=c

11111 . (1)求

A1B与AC的夹角 ；(2)求证AC⊥BD1.

题型三：利用数量积求向量的模

例3. 如图(1)，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角(如图(2))，求B、D间的距离．

课堂小结：

1.

空间向量数量积定义：

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．

2.空间向量数量积的应用

(1)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．

(2)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．

a·b(3)由cos〈a，b〉＝

求两个向量的夹角．

|a||b|

课后作业：

1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝________，(a＋2b)·(a－b)＝________. 2．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝7，则a与b的夹角为________．