习题2.3优质课教案推荐

2.3.2 双曲线的简单几何性质

教学设计 李天兰 一、

教材分析

（一）

教材内容分析

《双曲线的简单几何性质》取自于人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》，是继双曲线的定义及其标准方程之后的学习，属于解析几何内容。

（二）

教材的地位与作用

双曲线的简单几何性质的学习，是运用坐标法研究曲线性质的又一次实际演练；为研究抛物线及其性质提供模式和伦理基础；培养学生数形结合的能力；提高学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等能力。在整章内容中起到了承上启下的作用。

（三）

高考考纲分析

双曲线的简单几何性质，是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点. 二．学情分析

（一）能力分析

学生刚经历了由椭圆的定义及其标准方程类比、归纳、抽象出双曲线的定义及其标准方程的过程，以及由图形——方程

——性质的研究过程，基本熟悉类比、归纳、抽象等的学习方法，具备由方程研究曲线性质的能力，对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。

（二）认知分析

学生已经初步掌握用坐标法研究曲线性质的方法；对由方程讨论曲线性质有深刻的认识。

（三）情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与探究。

三．教学目标

平面解析几何研究的主要问题之一是：通过方程，研究平面曲线的性质.教学大纲要求学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握曲线的方程，研究曲线的几何性质的基本方法和步骤. （一）知识与技能

1.通过类比、归纳、抽象出双曲线的简单几何性质：对称性、顶点、范围。

2.理解双曲线的离心率、渐近线的描述及几何意义；运用双曲线的几何性质解决一些基本问题

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3.使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解. （二）过程与方法

通过类比椭圆的性质，归纳、抽象出双曲线的简单几何性质，完善对双曲线的认知结构，理解坐标法研究曲线性质及数形结合的思想方法，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。

（三）情感态度与价值观

通过类比探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神。

四．教学重难点

（一）确定依据

双曲线的实轴和虚轴是区别于椭圆的长轴和短轴的概念，而渐近线的概念是双曲线所特有的，学生接受起来有一定的难度。

（二）教学重点

双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法。

（三）教学难点

双曲线的渐近线与离心率及其几何意义。

五．教学方法

以类比思维作为教学的主线，以自主探究作为学生的学习方式，采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”动态演示双曲线的几何图形，让学生边观察，边类比，边比较，同时进行题组训练。 六．教学过程

教学流程：

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活动流程

活动内容

设计意图

x2y2活动一：(提问学生)椭圆22（1a0,b0）的4个简单的几何性质：以旧引新，揭示课ab复习回顾

题。

范围、对称性、顶点、离心率。

x2y21a0,b0）（自主讨论）类比椭圆22（的简单几何性质，ab从已有知识结构x2y21a0,b0）双曲线2-2（是否具有类似的几何性质：范围、对拓展延伸，使学生ab经历形上观察和称性、顶点？

数上证明，培养学（学生分组讨论，给大约4分钟时间）

生数形结合的能活动二：教师引导学生归纳得出双曲线的三个性质：对称性、顶点、范围

力。激发学生自主学生自主学习的积极性，使学习

学生的主观能动性得到发挥，建立信心。体现本节课以学生自主探究为主的教学方法。

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活动三：

（师生共同）类比椭圆的四个顶点，找出双曲线的左右顶点和上师生探索下两个虚顶点，得出双曲线的实轴和虚轴的概念。

逐步构建新知识双曲线的（教师引导学生）思考实轴和虚轴是否会相等，从而得出等轴双体系，突破实轴和实轴和虚曲线的概念。同时，类比椭圆以实轴和虚轴为边长作出矩形，作虚轴这两个难点。

轴

出矩形的对角线。

1.（提出问题）矩形的对角线与双曲线有何位置关系？可否求出矩形对角线的方程？

学生猜想：不相交

2.（教师几何画板动态展示启发引导）几何画板动态展示双曲线与矩形对角线的位置关系，进一步验证学生的猜想，从而得出双曲线的渐近线的描述和几何意义。

byx

3.（学生）求出双曲线的渐近线方程：活动四：a从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，通过探究“矩形的对角线与双曲线有何关系？”这一问题，教师几何画板动态展示，逐步引出双曲线的渐近线的描述和几何意义，从而突破了

师生探索双曲线的渐近线及其几何意义

4.结合双曲线的渐近线的几何意义，它有何作用？

（教师引导学生）根据双曲线的渐近线的几何意义，同一坐标系中作出相对准确的双曲线的草图：xxyy21和1

444222本节课的一个难点——渐近线。

活动五：1.（教师引导）根据学生作图结果，观察两个双曲线的相同点和师生探索不同点，思考：图形上的不同点，代数上如何表示？

从动态图形中观察c的大小对双a双曲线的2.类比椭圆的离心率ec刻画椭圆的扁平程度，学生猜想，双曲a曲线的张口大小离心率及c线中，的大小是否会对双曲线的形状产生影响？

的影响，抽象出离a其几何意c3.教师几何画板动态展示双曲线中的大小对双曲线形状产生的心率的几何意义，义

a

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影响，从而得出双曲线的离心率的概念和几何意义。得到知识规律，培养学生的数学抽象能力。

x2y21a0,b0）（学生自主归纳）根据2-2（的相关性质，类比归aby2x21a0,b0）纳得出2-2（的性质。

ab通过对比总结，揭示内涵，使知识系统化、条理化，便活动六：类比归纳

于理解、记忆，深化教学目标，突出结论，明确重点。

深化知识，完成新知识体系的构建。

基础题：

通过练习，检22例1.求双曲线2x4y4的实半轴长、虚半轴长、顶点和焦点的坐标、渐近线方程、离心率.活动七：巩固训练

高考题：

1.（2018年全国3卷）

查本节课的教学质量，及时得到学生的信息反馈，以便更好的弥补教学的不足，同时对学生的学法进行指导，使好的新颖x2y2双曲线221的渐近线方程为y3x,求双曲线的离心率。ab

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2.

(2017年全国3卷) 的学习方法、解题技巧得到推广，使学习有困难的学生也得到启发，突出重点和突破难x2y25双曲线C:221(a0,b0)的一条渐近线方程为yx,ab2x2y2

且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为（）123x2y2A.1810x2y2B.145x2y2C.154点。

x2y2D.143

活动八：归纳小结

让学生通过自我反思和互相质疑提问，从知识上和思想方法上归对所学内容进行纳总结本节课的主要内容。

系统归纳，深化知识的条理性。

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