3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计(第二课时)

空间向量数乘运算

教学目标：

1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念. 2.会用向量方法求两条直线所成的角、线面角和二面角. 3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.

教学过程：

一、导课：

问题1:空间角的分类和概念

(1)两异面直线所成的角:在空间内任取一点O,过点O分别作两异面直线的

平行线

,这两条平行线所成的

锐角

或

直角

叫作异面直线所成的角.

(2)直线与平面所成的角:平面的一条斜线与斜线在平面内的

射影

所成的

锐角

叫作斜线与平面所成的角.特别地,如果直线与平面平行或在平面内,直线与平面所成的角为

0

,当直线与平面垂直时,所成的角为

.

(3)二面角:从一条直线出发的两个

半平面

组成的图形叫作二面角,以二面角棱上任意一点为端点,在两个平面内分别

垂直于棱

的两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面角是直角的二面角叫作

直二面角

.

问题2:用向量法求两异面直线所成的角

两异面直线所成的角记为θ,它们的方向向量a,b所成的角记为. (1)θ与的关系:若∈(0,],则θ=

;若∈(,π),则θ=

π-

.

(2)计算公式:cos θ=|cos|=

.

问题3:用向量法求直线与平面所成的角

直线l与平面α所成的角记为θ,这条直线的方向量a与这个平面的法向量n所成的角记为. (1)θ与的关系:若∈[0,],则θ=

;若∈(,π),则θ=

.

(2)计算公式:sin θ=|cos|=

.

问题4:用向量法计算二面角的大小

二面角α-l-β的大小记为θ,平面α的法向量m与平面β的法向量n所成的角记为. (1)θ与的关系是

相等

或

互补

.

(2)计算公式:|cos θ|=|cos|=

,根据θ的象限确定cos θ的符号.

二、思维探究与创新

用向量法计算异面直线所成的角

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、BD的中点,G在CD上,且CG=CD,则EF与B1C所成角为

;EF与C1G所成角的余弦值为

.

向量法计算直线与平面所成的角

如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (1)证明:CM⊥SN;

(2)求SN与平面CMN所成角的正弦值.

用向量法计算二面角

如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求二面角A-A1D-B的余弦值.

(2014年·新课标全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(

). A.

B.

C.

D.

思维导图

参考答案

知识体系梳理

问题1:(1)平行线

锐角

直角

(2)射影

锐角

0

问题2:(1)

π-

(2)

(3)半平面

垂直于棱

直二面角

问题3:(1)-

-

(2)问题4:(1)相等

互补

(2)重点难点探究

探究一:【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,),F(,,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),G(0,,0),C1(0,1,1).

(1)∵ =(,,-),

=(-1,0,-1),

∴ ·

=0,得EF⊥B1C,即EF与B1C所成角为90°.

(2)

=(0,-,-1),

∵|

|=∴cos

θ

,| |=, ·

=,

=

=,即

EF与C1G所成角的余弦值为 .

【答案】90°

【小结】异面直线所成角的范围是(0,],当直线与直线垂直时,异面直线所成的角为.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)写出两条异面直线的方向向量的坐标; (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角; (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.

探究二:【解析】设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).

则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点,∴N(,0,0),M(1,0,),S(1,,0).

=(1,-1,

),

=(-

,-

,0),∴

·

=(1,-1,

)·(-

,-

,0)=0,∴CM⊥SN. (1)∵

=(-,1,0),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,∴

·a=0, ·a=0. (2)

-

则

∴

-

取y=1,得a=(2,1,-2). 设SN与平面CMN所成角为θ,

∴sin

θ

-

-

>|=

=

,

=|cos

∴SN与平面CMN所成角的正弦值为.

与平面的法向量a的夹角并不是所求的线面角θ,它们的关【小结】(1)注意本题中直线的方向向量

,a>|. 系是sin θ=|cos<

(2)若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:

探究三:【解析】如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC是正三角形,所以AO⊥BC,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点为O1,以O为原点, ,

, 为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,

),A(0,0,

),B1(1,2,0). =(-1,1,-

), 设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z),

=(0,2,0).

由n⊥ ,n⊥

,得

-

-

即

则

令z=1,得n=(-

,0,1)为平面A1AD的一个法向量. =(-2,1,0), 又因为

=(1,2,-

),

=(-1,2,

),

所以

· =-2+2=0,

·

=-1+4-3=0,

所以

⊥ ,

⊥

,又BD∩BA1=B,所以AB1⊥平面A1BD,

所以

是平面A1BD的一个法向量,

所以cos

>=

-

-

==-,

所以二面角A-A1D-B的余弦值为-.

[问题]上述结果正确吗?

[结论]不正确,因为二面角A-A1D-B的平面角为锐角,故其余弦值应为正值. 正确解答:求cos

>的步骤同上述解法. 因为二面角A-A1D-B的平面角为锐角,

所以二面角A-A1D-B的余弦值为.

【小结】用法向量求二面角的大小的一般步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求出两个法向量的夹角;

(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角; (5)确定二面角的平面角的大小. 全新视角拓展

【解析】由于∠BCA=90°,三棱柱为直三棱柱,且BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体,建立如图所示空间直角坐标系. 设正方体棱长为2,则A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),

∴ =(-1,-1,2), =(0,1,2).

∴cos< , >=

=

=.

-

- =

【答案】C 思维导图构建

|cos|=

|cos|=

|cos|=