1.4.1 全称量词教案和课堂实录

全称量词

全称量词与存在量词

【教学目标】

了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。

【教学重点】

解全称量词、存在量词的概念区别；

【教学难点】

正确使用全称命题、存在性命题；

【教学过程】

一、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。

问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词

一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船

答案：

①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得

s = n × n；

（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有

s = n × n；

上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”

存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。

全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”

特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？ （1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；

四、数学理论

1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假

的。这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0。

2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

（1）全称量词 日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x、y等，表示个体域里的所有个体。

（2）存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x，y等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为：xM,p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为：xM,q(x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

【例1】判断以下命题的真假：

222（1）xR,xx （2）xR,xx （3）xQ,x80 （4）xR,x20

2分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；

【例2】指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2

第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1 分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

【例3】判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

（1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；

（3）全称命题， x∈R，x1x；

（4）全称命题，a，a有方向；

六、回顾反思

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）

2 A．所有奇数都是质数 B．xR,x11

C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）

2222x,yRx,yRxy2xyxy2xy

A．，都有 B．，都有2222x0,y0x0,y0xy2xyxy2xy

C．，都有 D．，都有3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是

22xR,x10xR,x10

A． B．C．xR,sinxtanx D．xR,sinxtanx

4．下列命题中的假命题是（ ）

A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

5．对于下列语句

22xZ,x3xR,x2 （1） （2）

22（3）xR,x2x30 （4）xR,xx50

其中正确的命题序号是 。（全部填上）

6．命题(ab)b12abb1是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案：

1．B 2．A 3．D 4．B 5．（2）（3）

6．不是全称命题，补充条件：ab1（答案不唯一）

当ab1时，ab0，b10] (ab)2(ab)abb1b1b1