习题1.3教学实录及点评

1.3

简单的逻辑联结词

课后篇巩固提升

基础巩固

1.在命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是(

) A.没有使用逻辑联结词

B.使用了逻辑联结词“且”

C.使用了逻辑联结词“或”

D.使用了逻辑联结词“非”

答案C 2.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根,则下列命题为真命题的是(

A.p∧(q) B.(p)∧q

C.(p)∧(q) D.p∧q

解析由题意知,命题p是真命题,命题q是假命题,所以q是真命题,故p∧(q)是真命题.

答案A 3.下列为假命题的是(

) A.3≥4 B.两非零向量平行,其所在直线平行或重合

C.菱形的对角线相等且互相垂直

D.若x2+y2=0,则x=0且y=0 解析菱形的对角线互相垂直但不一定相等.

答案C 4.“p∨q为真”是“p为真”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若“p∨q为真”可能p假q真,不一定有“p为真”,充分性不成立; 若“p为真”,则一定有“p∨q为真”,必要性成立, 综上可得:“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件.

答案B

)

5.若命题“(p)∨(q)”是假命题,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“p∨q”是假命题,其中正确的是(

) A.①③

C.②③

B.②④

D.①④

解析因为(p)∨(q)为假,所以(p)与(q)均为假,所以p与q均为真,所以①③正确.

答案A 6.在一次数学测试中,成绩在区间[125,150]上为优秀,有甲、乙两名同学,设命题p是“甲测试成绩优秀”,q是“乙测试成绩优秀”,则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为(

) A.(p)∨(q) C.(p)∧(q) B.p∨(q) D.p∨q

解析“甲测试成绩不优秀”可表示为p,“乙测试成绩不优秀”可表示为q, “甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”或“甲、乙的测试成绩都不优秀”,表示形式为(p)∨(q).

答案A 7.已知命题p:1∈{x|x2

.

解析由1∈{x|x21; 由2∈{x|x24.

当p∧q为真命题时,有p真q真,所以a>4.

答案(4,+∞) 8.分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“p”形式,并判断真假: (1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数.

(2)p:a2+b2<0(a∈R,b∈R),q:a2+b2≥0.

(3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的.

解(1)p∨q:2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数,是真命题.

p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数,是假命题.

p:2n-1(n∈Z)不是奇数,是假命题.

(2)p∨q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)或a2+b2≥0,是真命题.

p∧q:a2+b2<0(a∈R,b∈R)且a2+b2≥0,是假命题.

p:a2+b2≥0(a∈R,b∈R),是真命题.

(3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题.

p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题.

p:集合中的元素是不确定的,是假命题.

9.给定命题p:关于x的方程x2+ax+a=0无实根;命题q:函数y=真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.

解由方程x2+ax+a=0无实根, 可得Δ=a2-4a<0,解得0

- 在(0,+∞)上单调递减,

- 在(0,+∞)上单调递减.已知

p∨q是可得1-4a>0,解得a<,即命题q:a<.

∵p∨q是真命题,p∧q是假命题, ∴p、q两个命题真假性相反,

或

解得

≤a<4或a≤0, ∴

或

∴实数a的取值范围为(-∞,0]∪

,4

.

能力提升

1.已知命题p:“若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log1.20.2,则a0”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是(

) A.p∧q

C.(p)∧(q) B.p∧(q) D.(p)∧q

解析命题p:若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log1.20.2, 则b=1.20.2>1,0a>c.

故命题p为假命题.

命题q:“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件, 故命题q是真命题.

则(p)∧q为真命题.故选D. 答案D 2.已知命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q:如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称,则有(

)

A.“p∧q”为真

C.p真q假

B.“p∨q”为假

D.p假q真

解析对于命题p:当x=-1时,y=logaa=1,故命题p为真; 对于命题q:将函数y=f(x)的图象向右平移3个单位,得到函数y=f(x-3)的图象,故函数y=f(x-3)的图象关于点(6,0)对称,所以命题q为假.

答案C 3.已知命题p:|x-1|≥2,q:x∈Z,若p∧q,q同时为假命题,则满足条件的x的集合为(

) A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z} B.{x|-1≤x≤3,x∉Z} C.{x|x<-1或x>3,x∈Z} D.{x|-1

∴

答案D 4.若“x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则x的取值范围是

.

解析由已知得x∉[2,5]且x∉(-∞,1)∪(4,+∞),因此可得1≤x<2.

答案[1,2) 5.已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:

>1,若(

-

∈

-

则满足条件的x的集合为{x|-1

q)∧p为真,则x的取值范围是

.

解析因为x2+2x-3>0⇔(x+3)(x-1)>0⇔x<-3或x>1.

又因为

-

>1⇔<0⇔2

-

-

所以q:x≤2或x≥3.

若(q)∧p为真,则x的取值范围是(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞).

答案(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 6.已知命题p:不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q:不等式q”,“p∧q”,“p”,“q”中正确的命题是

.

解析因为∀x∈R,x2+x+1>0,所以命题p为假,p为真.

-

≤0的解集为{x|1

-

-

-

-

≤0,所以

-

-

因为解得1

所以命题q为真,p∨q为真,p∧q为假,q为假.

答案p∨q,p

,+∞

7.设命题p:A={x|a+1≤x≤2a-1},B={x|x≤3或x>5},A⊆B;命题q:函数f(x)=x2-2ax+1在增函数,若“p∧q”为假,且“p∨q”为真,求实数a的取值范围.

解当命题p为真时,即A⊆B,则由下列两种情况: ①A=⌀,即2a-1

-

-

或

满足A⊆B,

-

上为a=2或a>4, 综合①②得: 实数a的取值范围为a≤2或a>4, 当命题q为真时,即函数f(x)=x2-2ax+1在则a≤

, 又“p∧q”为假,且“p∨q”为真, 所以命题p、q一真一假,

或

即

或

,+∞

上为增函数, a>4,

故实数a的取值范围为4.

-

-

8.设命题p:实数x满足x-4ax+3a<0,其中a>0,命题q:实数x满足

-

.22(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

解(1)当a=1时,p:{x|1

又p∧q为真,所以p真且q真,由

得2

(2)因为p是q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,

又p:{x|a

所以

解得1

所以实数a的取值范围为(1,2].