1.4.1 全称量词教学目标

1.4 全称量词与存在量词

1．全程量词与全称命题

(1)全称量词：

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)全称命题：

①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．

②符号表示：

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)_成立”.

2．存在量词与特称命题

(1)存在量词

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

(2)特称命题

①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．

②符号表示：

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．

3．含有一个量词的命题的否定

1．命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？

提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题.

2．命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？

提示：是全称命题，且是假命题．

3．命题q是p的否定吗？命题p的否定是什么？

提示：q不是p的否定．因为命题p是假命题，其否定应为真命题，但q是假命题．p的否定应为“不是每一个实数的平方都大于1”即“有的实数的平方不大于1”．

4．全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？

提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题.

考点一

全称命题与特称命题

判断下列命题是特称命题还是全称命题．

①存在被5整除的整数，末位数是0；

②存在实数x，使得x2＋1＝0；

③任何一个奇数都是素数；

④对数函数都是单调函数．

[自主解答]

①②是特称命题，③④是全称命题，④中的“对数函数”含有“每一个”的涵义．

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1．判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断．

2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题。

1．判断下列命题是全称命题还是特称命题：

(1)负数没有对数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；

(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；

(4)∃x0∈Z，log2x0>0. 解：(1)和(3)为全称命题．

(2)和(4)为特称命题.

考点二

全称命题与特称命题真假的判断

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

1(2)存在一个x0∈R，使＝0；

x0－1(3)存在一组m、n的值，使m－n＝1；

(4)至少有一个集合A，满足A．

[自主解答]

(1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

1(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．

x0－1(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，使m－n＝1成立，所以该命题是真命题．

(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A成立，所以该命题是真命题．

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1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可（这就是通常所说的“举一个反例”）

2．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中能早到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题。

2．判断下列命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋1＞0；

(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；

2(3)∃x0∈Q，x0＝3；

2(4)∃x0∈R，x0－x0＋1＝0. 解：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0，所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是

真命题．

(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．

(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．

2(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ＜0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x0∈R，x0－x0＋1＝0”是假命题.

考点三

含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定，并判断其真假：

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)p：所有的正方形都是菱形；

3(3)p：至少有一个实数x0，使x0＋1＝0；

(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．

112[自主解答]

(1)是全称命题，p：∃x0

∈R，x20－x0＋<0.因为对于任意的x，x－x＋441＝(x－)2≥0，所以p为假命题．

2(2)是全称命题，p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以p为假命题．

(3)是特称命题，p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以p为假命题．

(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，p为真命题．

若将例3中(1)中“∀”改为“∃”．则结果如何？

1解：(1)中p改为：“∃x0∈R，x20－x0＋≥0”，

41∴p为∀x∈R，x2－x＋<0，

4而且p为假命题．

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1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应的结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论。

2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

3．写出下列命题的否定并判断其真假．

(1)所有正方形都有内切圆；

(2)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数．

解：(1)命题的否定：

有的正方形没有内切圆，假命题．

(2)命题的否定：

∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数，假命题．

【解题高手】【妙解题】

若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

[巧思]

全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素

x，x2－2ax＋2≥a都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x∈[－1，＋∞)时，(x2－2ax＋2)min≥a. [妙解]

∵命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”为真命题，

∴x≥－1时，x2－2ax＋2≥a恒成立．

令f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，

则当a≥－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. a≥－1，∴解得－1≤a≤1. 22－a≥a，当a<－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a. a<－1，∴解得－3≤a<－1 3＋2a≥a，综上可得－3≤a≤1，

即a的取值范围为[－3,1]．

1．下列命题中，不是全称命题的是(

) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

解析：D选项是特称命题，而不是全称命题．

答案：D 2．下列命题中为真命题的是(

) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．∃x0∈R，－x20－1≥0 C．∀x∈N*，log2x>0 D．∃x0∈R，cos x0>x20＋2x0＋3 解析：A中当x＝0时，x2＋2x＋1≠0；

B中当x0＝±1时，－x20－1≥0成立；

C中当x＝1时，log21＝0；

2D中，∵x0＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2，

而cos x0≤1，故cos x0>x20＋2x0＋3不成立．

答案：B 3．(重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(

) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 2D．存在x0∈R，使得x0<0 解析：否定原题结论的同时要把量词做相应改变。

答案：D 4．命题p：∀x∈R，x2－x＋4>0的否定綈p为________．

解析：綈p为特称命题，且x2－x＋4>0的否定为x2－x＋4≤0. 答案：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0 5．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．

解析：由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.

答案：(－∞，3] 6．用含符号“∀”或“∃”的命题形式表示下列命题：

(1)“不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根”．

(2)“存在实数x0，使sin x0>tan x0”．

解：(1)是全称命题，可表示为“∀m∈R，x2＋x－m＝0有实根”．

(2)是特称命题，可表示为“∃x0∈R，sin x0>tan x0”．

一、选择题

1．下列命题中的假命题是(

) －A．∀x∈R,2x1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2 解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．

答案：B 2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(

) 2A．不存在x0∈R，x30－x0＋1≤0 2B．存在x0∈R，x30－x0＋1≤0 3C．存在x0∈R，x20－x0＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 答案：C 3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x，使>2 x解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负1数x，都有<0，所以D是假命题．

x答案：B 14．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝2.则下列判2断正确的是(

) A．p是真命题

B．q是假命题

C．p是假命题

D．q是假命题

111解析：p：2x2＋2x＋＝2(x2＋x＋)＝2(x＋)2≥0，

242∴p为假命题，p为真命题．

πq：sin x0－cos x0＝2sin (x0－) 43∴x0＝π时成立．

4故而q为真，而q为假命题．

答案：D 二、填空题

5．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0.”的否定为________．

答案：∀x∈R，sin x≤cos x

6．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：________. 22解析：命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是特称命题．因为x＋2x＋5＝(x＋1)＋4>0恒成立，所以命题p为假命题

命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0. 答案：特称命题

假

∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 7．若命题∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则a的取值范围是________．

解析：只需(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需

a＋2>0，

Δ＝16－4a－1a＋2≤0，解得a≥2.答案：[2，＋∞) 8．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．

①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；

②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；

③∀x∈R，f(x)≤f(x0)；

④∀x∈R，f(x)≥f(x0)．

b解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即2a对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．

答案：③

三、解答题

9．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立．若綈p是假命题，求实数m的取值范围．

解：∵p为假命题，∴p为真命题．

即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．

xx由4＋2·m＋1＝0，

11得m＝－2x－x＝－(2x＋x)≤－2. 22即m的取值范围为(－∞，－2]．

10．已知p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：p为真时：x2－a≥0 即a≤x2. ∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1. q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0 即a≥1或a≤－2. ∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．

∴a＝1或a≤－2. 即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.