1.3.3 非（not）优质公开课教案

1.3.3 非

(not) 学习目标

1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题. 2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.

知识点一

逻辑联结词“非”

思考

观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？

(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根. (2)p：y＝tanx是偶函数；q：y＝tanx不是偶函数. 答案

两组命题中，命题q都是命题p的否定. “非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集∁UA.

梳理

(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.

(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题.

知识点二

“p∧q”与“p∨q”的否定

1.对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”.对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”.

复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：

(1)确定复合命题的构成形式；

(2)判断其中各简单命题的真假；

(3)利用真值表判断复合命题的真假. 2.语句“a∈A或a∈B”的否定形式是“a∉A且a∉B”，语句“a∈A且a∈B”的否定形式是“a∉A或a∉B”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，111111如“>0”的含义是“有意义且>0”，故其否定应为“无意义或≤0”，即“x＝0或<0”.

xxxxxx

知识点三

命题的否定与否命题

思考

已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？

答案

命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；

命题p的否定：平行四边形的对角线不相等. 命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.

梳理

(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定. ①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；

②p与“非p”的真假必须相反；

③“非p”必须包含p的所有对立面. (2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.

类型一

綈p命题及构成形式

例1

写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0. 解

(1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零. (3)若xy＝0，则x≠0且y≠0. 反思与感悟

綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”等.

跟踪训练1

写出下列命题的否定形式. (1)p：y＝sinx是周期函数；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：5不是75的约数. 解

(1) 綈p：y＝sinx不是周期函数. (2) 綈p：3≥2. (3) 綈p：空集不是集合A的子集. (4) 綈p：5是75的约数.

类型二

命题的否定的真假应用

例2

已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围. 解

命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

Δ＝4a－4≥0，x1＋x2>－2，x1＋1x2＋1>0，2命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，

a>0，等价于a＝0或

Δ<0.

a－1≥0，⇔－2a>－22－2a>0，2

，解得a≤－1.

a>0a>0，由于⇔2解得0

Δ<0a－4a<0，

所以0≤a<4. 因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，

a≤－1，所以解得a≤－1. a<0或a≥4，故实数a的取值范围是(－∞，－1].

反思与感悟

由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.

跟踪训练2

已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________. 答案

{x|－1

由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p∧q：x∈{－1，0，1，2}.

綈p：x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－1

1.已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(

) A.(綈p)∨q

C.(綈p)∧(綈q)

答案

D B.p∧q

D.(綈p)∨(綈q) 解析

由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题. 2.若p是真命题，q是假命题，则(

) A.p∧q是真命题

B.p∨q是假命题

C.綈p是真命题

答案

D D.綈q是真命题

解析

因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题.故选D. 3.“a≥5且b≥2”的否定是________. 答案

a<5或b<2 解析

“p或q”的否定是“綈p且綈q”，而“p且q”的否定为“綈p或綈q”.

4.给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________. ①命题“p且q”为真；②命题“p或q”为假；

③命题“p或綈q”为真；④命题“p且綈q”为真. 答案

③④

解析

据题知命题p为真命题；命题q为假命题.故p∧q为假，p∨q为真，p∨(綈q)为真，p∧(綈q)亦为真，只有③④正确. 5.分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假. (1)p：2>2，q：2＝2；

(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；

(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根. 解

(1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，

∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题. (2)∵p：∅是{0}的真子集，是真命题，q：0∈∅，是假命题，

∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题. (3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，

q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，

∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题.

1.若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论. 2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.

3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若

p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.