习题3.2板书设计

第三讲：立体几何中的向量方法

——利用空间向量求二面角的平面角

大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。

教学目标

1．使学生会求平面的法向量；

2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；

3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量；

求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程

Ⅰ、复习回顾

一、回顾相关公式：

1、二面角的平面角：（范围：[0,]）

n1

1 n,n12n2n1,n2

n1,n2n1n2n1,n2

l l coscosn1,n2结论： 或

coscosn1,n2

n1n2统一为：

coscosn1,n2n1n2

2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

Ⅱ、典例分析与练习

例1、如图，ABCD是一直角梯形，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.

分析

分别以BA,AD,AS所在直线为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量n1，

平面SBA法向量n2，利用n1,n2夹角

求平面SCD与平面SBA的夹角余弦值。

解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则

A1，2zSBCDyx1A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,,0),S(0,0,1)

2111 易知面SBA的法向量为n1AD(0,,0)，CD(1,,0),SD(0,,1)

222yx012n2(1,,1) 设面SCD的法向量为n2(x,y,z)，则有，取z1，得x1,y2，2yz02cosn1,n2n1n2|n1||n2|6

3又n1方向朝面内，n2方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角

即所求二面角的余弦值为6. 3点拨

求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。

2

练习1：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点.求二面角FAED的余弦值。

1111解：由题意知，F(0,1,),E(,1,0)，则AF(0,1,),AE(,1,0)

2222设平面AEF的法向量为n(x,y,z)，则

1yz0nAF02，取y1，得xz2

1xy0nAE02B1 n(2,1,2)

又平面AED的法向量为AA)

1(0,0,1zA1D1C1AFDyBCE22

cosn,AA13|n||AA1|31nAA1x 观察图形知，二面角FAED为锐角，所以所求二面角FAED的余弦值为练习2：如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形AABB

是矩形，2

3平面AABB平面ABCD。

试问：当AA的长度为多少时，二面角DACA的大小为60？ 解：

如图建立空间坐标系Axyz，则

DA'(1,0,a)

DC(0,1,0)

设面DAC的法向量为n1(x,y,1)

'DAn10则

得n1(a,0,1)

DCn10'易得面AAC的法向量n2(1,1,0)

'向量n1,n2的夹角为60

由cosn1,n2n1n2a1 得

a1 |n1||n2|a2122

当AA＝１时，二面角DACA的大小为60． 设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

3

练习3：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱AA1上任意一点．

当BC1B1P时，求二面角CB1PC1的平面角的余弦值．

解：如图建立空间坐标系Oxyz，设APa

则A,C,B1,P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,a)

∵, BC1(3,1,2)

由BC1B1P，得BC1B1P0

即22(a2)0

a1

又BC1B1C

BC1面CB1P

BC1(3,1,2)是面CB1P的法向量

B1Pn0设面C1B1P的法向量为n(1,y,z)，由得n(1,3,23), B1C1n0设二面角CB1PC1的大小为，则cosBC1n6 4|BC1||n|Ⅲ、小结与收获



n1n21、二面角的平面角的正弦值弦值：

coscosn1,n2n1n2

2、求平面法向量的方法.

Ⅳ、课后练习

1、如图,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90, ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD. 求二面角PBDC的大小.

2、如图,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均相等,点D是BC上一点,AD⊥C1D. 求二面角C－AC1－D的大小.

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